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导入¶
三种方式¶
- 热辐射：物体以发射电磁波（光子）方式传递能量（通过性）
| 传热方式 | 核心定义 | 传递载体与机制 | 关键前提 |
|---|---|---|---|
| 导热 | 热量通过物质内部分子、原子、自由电子的微观热运动（如振动、碰撞）传递，无物质宏观位移的传热过程。 | 载体：固体、液体、气体（均可行，但固体中最显著） 机制：微观粒子的能量碰撞传递（如金属中自由电子碰撞、固体晶格振动）。 | 仅需 “存在温度差” 和 “传热介质”，无需介质宏观流动。 |
| 热对流 | 热量通过流体（液体 / 气体）的宏观流动，将流体自身的热量从高温区域带到低温区域的传热过程。 | 载体：仅能是流体（液体：水、油；气体：空气、烟气） 机制：“流体宏观流动”+“流体内部导热”（流动的流体先通过内部导热吸热，再带着热量流动到低温区释放）。 | 必须满足两个条件：① 有流体介质；② 流体发生宏观流动（自然流动或强制流动）。 |
辨析
- 热传导和对流发生在物质介质中存在温差
- 导热：同室倒戈
- 对流：邻居
- 热辐射无所谓介质
- 太空中
| 名称 | 英文 | 意义 | 符号 | 单位 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 热能 * | Thermal Energy | 与物体微观行为相关的能量（状态量）【热量 - 过程量】 | U 或 u | J 或 J/kg | |
| 温度 | Temperature | 一种间接评估物质中热能数量的表征 | T | K 或 °C | |
| 传热 | Heat Transfer | 因温度差引起的热能传输 | |||
| 热 | Heat | 一段时间内传输的热能数量 | Q | J | |
| 热流量或传热率 | Heat (transfer) Rate | 单位时间内通过一给定面积的热量；单位时间传输的热能 | Φ | W (J/s) | |
| 热流密度 | Heat Flux | 单位时间单位面积传输的热能 | q | W/m² |
内能（整体功力）=热能+化学能+核能等（内能包含了分子内部的能量）
分子的能量（运动的动能、势能，分子之间的结合能（化学能）、原子核内部的能量（核能））
温度决定热运动的速率，也就是动能
热传导
- 气体：分子平移、内部转动、振动
- 流体：分子间作用力更强
- 固体：晶格振动形式的原子活动，晶格波
- 非导体（晶格波）；导体（晶格波+平移的自由电子）
热传导速率¶
傅里叶定律/导热基本定律矢量方程：
q：热流密度，\(W/m^2\)
\(\lambda\) ：导热系数/热导率：\(W/m·K\)
\(\nabla T\)：温度梯度，\(°C /m 或 K/m\)
热量传递指向温度降低方向，与温度升高的方向相反
- \(\phi\)：热流量：W, 单位时间内通过某一给定面积的热流量
- q = \(\phi/A, W/m^2\) , 热流密度
对于一维平壁稳态导热，平壁导热系数为常数：
A：垂直热量传递方向的截面面积
解题的步骤
- 假设：
- 一维导热问题
- 稳态过程
- 导热系数为常数
- 列式子计算
热对流速率¶
- 模式：
- 随机的分子运动，传输能量
- 流体整体或者说宏观运动（平流）传输能量
- 分子随机运动与流体整体运动所导致的能量传输的叠加
牛顿冷却公式：
\(h\): 表面传热系数/对流换热系数, (\(W/m^2 . K\))，与边界层中条件相关
\(T_w和T_f\) 分别为壁面温度和流体温度
面积 A 为与流体接触的壁面的面积
表面对流换热速度边界层和热力边界层的关系：
基本特点
- 流动方式：强制对流>自然对流
- 介质：液体大于气体
- 按照有无相变：有相变>无相变
辐射传热速率¶
辐射：气固交界面的传热包括表面辐射、对周围环境投射的吸收(辐照密度 G) 以及对流 \(if 𝑇_𝑠 ≠ 𝑇_∞\)
物体会因为热产生热辐射，同时也在不断吸收其他物体的热辐射，热辐射传热量为 0 时是动态平衡
辐射传热的过程中伴随着能量的转移和能量形式的转换
热力学能——>电磁能——>物体热力学能
辐射向外传递的能量（单位面积）：
解释
\(E\)：发射功率, W/m 2
\(\varepsilon\)：物体表面发射率, (0,1)；俗称黑度，与物体的种类、表面状况、温度有关
\(Eb\)：黑体发射功率, W/m 2 ;
\(\sigma\)：斯蒂芬-波尔茨曼常数, 5.67×10-8 W/m 2 .K 4
投射吸收能量：
Gabs：吸收的入射辐射能，W/m²
α：表面吸收率（0≤α≤1）（与投射辐射的特性及表面本身有关）
G: 辐照密度（W/m²）
但是传热量为向外辐射的和吸收的差值，一种简单的情形：
一个表面积为 A₁、表面温度为 T₁、发射率为ε₁的物体被包含在一个很大的表面温度为 \(T_2\) 的空腔内，辐射换热量为：（物体是凸的）
还可以这样表示：
其中，\(h_r=\varepsilon\sigma(T_s+T_\mathrm{Sur})(T_s^2+T_\mathrm{Sur}^2)\) 为辐射传热系数
传热过程和总传热系数¶
工程中经常遇到热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中的情形，如换热器中热量由热流体传递到冷流体。
传热过程定义及传热方程式¶
上图的热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中
传热方程式：
- k——总传热系数
- 表示整个传热过程的强弱
- 与 \(h_1,h_2\) 有关
通过平壁传热过程的总传热系数¶
三个环节：
- 高温流图和其接触的固体的壁面
- 平壁
- 低温流体和接触的壁面
稳态时三个环节传递的热量相等
对上面的式子将壁面的两个温度消去：
最后与传热的方程式对照，得到传热系数的计算式子：
热阻¶
- 类似电阻：
- 将温度的差 \(\Delta t\) 看做电压
- 将传热的量 \(\phi\) 看做电流
- 两者的商就是热阻
热阻的公式（平壁导热阶段的）：
对流传热的热阻：
我们再来看一下之前的通过平壁传热过程的总传热系数
对流——>壁面导热——>对流，三个传热过程的串联
解题流程¶
插入¶
热力学第一定理¶
- 一个时间段内的热力学第一定律：
- 储存在控制容积内的能量增大的值，必定等于进入控制容积的能量减去离开控制容积的能量
- 总能（E）=机械能＋内能
- 机械能=动能+势能
- 内能=热能（显能+潜能）+化学能+核能
- 显能：与温度和压力有关
- 潜能：与相变有关
- 传热学：集中注意热能和机械能
对一个瞬间的控制容积¶
控制系统边界：
能量变化：
笔记
in 和 out 表示通过控制容积表面的热能或者是机械能的变化
这些是由于传热、流体的流动、做功产生的
内部的
- \(\dot{E}_{\mathrm{g}}\) 体内的热能和机械能的变化率，如能量转换（电磁能、原子能、化学能）引起的系统内的能量变化（也就是体内引起的热能变化）
- \(\dot{E}_{\mathrm{st}}\)：内储存的能量，热能和机械能（最后引起的变化结果）
封闭系统能量守恒¶
M 质量，吸热 Q，对外做功 W¶
引起的总能的变化
若是仅仅考虑内部的热能，在某一瞬间：
开口系统的能量守恒¶
稳定流动的能量守恒（开口）¶
实际上就是热力学中的公式！
热能+流动功+动能+势能（括号里的，有流入的、有流出的）
- \(u_{t}+p\nu\) 为焓
- 对于理想气体：\(h_{\mathrm{in}}-h_{\mathrm{out}}=c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})\)
-
动能和势能省略时：
\[ \begin{aligned}&\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{in}}-\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{out}}\approx0\\&(gz)_{\mathrm{in}}-(gz)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \] -
不可压缩的流体：
\[ \begin{aligned}&u_{\mathrm{in}}-u_{\mathrm{out}}=c(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})\\&(pv)_{\mathrm{in}}-(pv)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \]
表面的能量平衡¶
对于控制体的表面，进出的能量差为 0，因为表面是没有质量和体积的
- 介质表面
- 没有质量、体积
- 瞬态、稳态都成立
方法
- 已知：读题，简写已知条件；
- 求：简写求解量；
- 示意图：画出物理系统图。如果要应用守恒定律，在示意图上用虚线画出所需控制面。在示意图上用合适标记的箭头标明相应的各种传热过程；
- 假定：列出全部适当假定；
- 特性参数：汇集所需参数，注明来源；
- 分析：选用合适守恒定律分析，结合能量传输输送方程，进行完整分析推导，计算结果；
- 说明：
- 对结果进行讨论，思考其合理性；
- 说明关键结论；
- 评论所做的假定；
- 进行 “如果… 将怎样” 的分析；
- 开展灵敏性计算、变参数分析或趋势分析。【计算机应用】
稳态热传导¶
导热的基本定理——傅里叶导热定理¶
- 傅里叶定理：现象学(试验现象的归纳)
热流密度是一个向量，在二维坐标系中的热流密度与等温表面相垂直
指出热流密度垂直于等温面，沿温度降低方向
矢量表达式¶
- 在角的坐标系中，温度梯度依然基于几何长度上的温度变化，单位任然为摄氏度/m
导热微分方程/热扩散方程¶
- 基于能量守恒微分控制，能量通过热传导进行
- 直角坐标系中的
得到的公式：
- 左边三个微分为净进入控制体的热能（进-出）
- \(\phi\) 为内部产生的热能
- 右侧为储存热能的变化
当导热系数为常数、一维、无热能产生时的简化
其中的 \(\alpha=\frac{\lambda}{\rho c_p}\)，为热扩散率（系数）
现在要解这个三元的微分方程（温度在时间和空间上都会变化）
-
瞬态的传热，是时间的一阶函数，需要初始的温度分布：
\[ T(x,t)_{t=0}=T(x,0) \] -
在空间上为二阶，需要两个边界条件：常用的有：
绝热时，等式右边为 0
单位时间内，从物体内部通过导热到达表面的热量，必然等于从表面通过对流传递给流体的热量（或反向）
也就是说表面不会存储热量，左边表面处的热流密度（是内部热交换的热流密度）必须等于其通过对流与外界换的热（实际上就是热量向内/外传递的过程）
关键点¶
辨析
- 归类于输运物性，表示扩散过程的能量传输的速率
- 取决于物质原子和分子的物理结构，这种结构与物质的状态有关
- 衡量材料导热传输热能的能力标尺
各向同性的材料三个方向的 \(\lambda\) 是相同的
传导热能能力/储存热能能力
导热率：固体>液体>气体
金属一般>非金属，但是也有例外的，比如陶瓷之类的
笔记
- 输运物性（扩散速率系数）
- 导热系数 / 热导率（对传热）
- 运动粘度（对动量传输）
- 热力学物性（系统平衡状态）
- 密度 ρ
- 比热容 cp
- 体积比热容 ρcp（乘积，度量材料储存热能的能力）
- 热扩散系数 α：热导率与体积比热容之比，度量材料传导热能的能力与其储存热能能力的相对大小的一个物性
将两块面积为 1 m² 的板浸于液体中，两板距离为 1 米，若加 1 N 的切应力，使两板之间的相对速率为 1 m/s, 则此液体的粘度为 1 Pa. s。
动力粘度与密度的比值，m²/s
通过典型集合形状物体的导热¶
稳态的导热特征：
（在固定的空间位置上，温度不随着时间变化，达到传热的平衡）
三种问题
- 平壁的导热，直角坐标系中的一维问题
- 圆筒壁的导热，圆柱形坐标系中的一维问题
- 球壳的导热，球坐标系的一维稳态
平壁的导热¶
情形一¶
基本的条件：1 D、稳态、无内热源、λ为常数、两侧均为第一类边界（知道某一边界上的温度）
数学上的描写：
二次的常微分方程，两个边界条件，最后的数学求解为：
这就是平板内的温度随着 x 坐标的变化率
热阻的角度：
情形二¶
- 问题的语言描述：1 D, 稳态, 无内热源, λ为常数, 一侧为第一类边界，另一侧为第二类（热流密度已知）或第三类边界（换热系数及流体的温度）
- 数学上的描述：
情形三¶
- 描述：1 D, 稳态, 无内热源, 变导热系数, 两侧均为第一类边界
多层平壁的导热¶
由几种不同的材料组成，就是多层平壁
前提：多层平壁，1 D, 稳态，无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界
通过热阻进行计算（两个温度之间所经历的换热的方式）
公式：
类推：
通过圆筒壁的导热¶
前提：1 D（维度）、稳态、无内热源、λ为常数、两侧均为第一类边界条件
数学描述：
得到的通解是：
最后带入边界调节的解（温度随着 r 的变化）为：
热流量为：
所以圆筒壁的热阻为：
在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。（使用热阻的概念）
解题时，直接使用结论中的热阻进行解题
通过球壳的导热¶
稳态的方程：
温度分布
热流量：
因为现在讨论的是内部的导热，所以最后内部使用的热流量的计算方程都是导热傅里叶方程
变截面的情况/变导热系数¶
肋片的导热¶
定义：肋片是指依附于基础表面上的扩展表面
特点：在沿着肋高度（宽度）上热流量处处变化（稳态导热），认为厚度上温度均匀
简化假设
- λ，h 均为常数
- 宽度 l>> \(\delta\) ，3 D → 2 D（二维的）
- 沿厚度方向上温度均匀
-
肋片的顶端绝热：\(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}|_{x=H}=0\)
-
数学描述：
- 傅里叶定理：内部的导热：
$$ \frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}-\frac{hP}{\lambda A_c}(t-t_\infty)=0 $$ 这是关于温度的二阶非齐次常微分方程
其中的 P 是横截面的周长，其中的 \(A_c\) 是横截面面积 需要使用换元求解
通过上下两个表面不断向周围散热
可以看成是一个负的内热源
简化后的物理问题
- 一维、稳态、无内热源、λ为常数
- 肋根：第一类边界条件（常数）
-
肋顶：第二类边界条件（绝热）
最后列出的方程：\[ \begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}+\frac{\dot{\Phi}}{\lambda}=0\\&x=0,\quad t=t_{0}\\&x=H,\quad{\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}}=0\end{aligned} \]
结果：
解释
- 其中的 \(\theta=t-t_{\infty}(周围气体的温度)\)，\(m=\sqrt{\frac{hP}{\lambda A_{c}}}\)
- \(\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\quad\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
计算得到的肋顶端的温度带入为：
说明
- 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：\(Hc=H + \delta/2\) (新的高度)
- 上述分析近似认为肋片温度场为一维。当 \((\delta/\lambda)/(1/h) <= 0.05\) 时，误差小于 1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数 h 不是均匀一致的 — 数值计算
热流量：
物体通过肋片散失掉的热量等于肋片根部热传导，也等于肋片表面对流换热（流的概念，是守恒的，从根部流进去的热量，在不改变温度的情况下，必须在之后流出）
肋效率和肋面总效率¶
定义
对于我们上面讨论的等截面直肋，有
说明
- \(mH=\sqrt{\frac{2h}{\lambda A_{L}}}H^{3/2}\)
- 可以证明对环肋、三角形肋及其他形状的肋片的肋效率均为 \(\sqrt{\frac{2h}{\lambda A_{L}}}H^{3/2}\) 的函数
总效率：
也就是一部分的面的温度就是肋底的温度（当有着很多很多的肋时）
肋效能¶
肋效率和肋效能关系
稳态导热的其他情形¶
- 应用背景：
- 导线的通电发热
- 化学反应
- 核反应的元件发热
均匀的内热源的情况¶
数学描述：
最后的解：
注意
数学描述中的内热源的项应该是单位体积的内热源
边界条件都是第一类边界条件
IIIBC 的情况（第三类边界条件）¶
数学
解
通过含内热源实心圆柱的导热¶
数学
解
解释
- r=0 处的边界条件是通过对称性得出的（是一个极值点）
多维稳态导热问题¶
三种解法
- 分析解法：解析解
- 数值解法：数值解（仿真软件之类的）
- 形状因子法（s，单位是 m），对于两个等温面之间的导热热流量
形状因子法¶
对于一个任意形状的物体，其材料导热系数为常数，无内热源，具有温度均匀、恒定的等温表面t 1、t 2，若其他表面绝热，其导热量的计算公式都可以表示成下面形式：
常见的形状因子
非稳态导热¶
基本概念¶
分类¶
- 周期性：物体中各点温度随时间周期性变化
- 非周期：物体的温度随时间的推移逐渐趋于某一恒定值
特点¶
- \(\frac{\partial t}{\partial\tau}\neq0\)：温度随着时间变化
- 物体中的温度分布存在着两个不同阶段 (非周期性）
- 非正规状况：物体中的温度分布主要受初始温度分布控制
- 正规状况：初始温度分布影响逐渐消失，物体中不同时刻温度分布主要取决于边界条件及物性
- 非正规状况：物体中的温度分布主要受初始温度分布控制
- 实际上对应的就是自动控制理论中的震荡、稳态吗
- 在垂直于热量传递方向的每一个截面上，导热量处处不同（这样温度才会变化）
导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量
数学描写¶
- 条件：
- 初始条件
- 边界条件：一般为第三类
热扩散率
第三类条件下的¶
特点
- 只要时间足够长，导热体的温度最终等于周围流体温度
- 导热体内部存在温差，导热体表面与周围流体间也存在温差
- 导热体内部导热热阻，外部对流传热热阻
表面的对流换热非常热烈
表面的温度一直为流体的温度
第三类退化为第一类
内部导热非常快
内部的温度一致
任何时间物体内的温度分布都趋于均匀一致。
毕渥数
零维问题分析¶
- 概念
内部导热热阻远小于表面对流传热热阻时，任意时刻导热体内部各点温度趋于一致，这样导热体的温度仅随时间变化。
只与时间有关，为零维
所以与物体的形状无关
-
方程：
\[ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\frac{\dot{\Phi}}{\rho c} \]与分析肋片导热问题类似，表面上交换的热量折算成整个物体的体积热源
-
控制方程
\[ \rho Vc\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=-hA(t-t_\infty) \]方程只有边界条件
解：
加入无量纲数，幂次变为：
解释
- 式中 BiV 是特征尺度 l 用 V/A 表示的毕渥数
- FoV 是特征尺度 l 用 V/A 表示的傅里叶数，\(Fo=\frac{a\tau}{l^2}\)，a 为热扩散率
分析
-
时间常数：使 \(\frac{hA}{\rho Vc}\tau=1\) 的 \(\tau\) 为时间常数
\[ \tau_c=\frac{\rho Vc}{hA} \]
一维非稳态导热的分析解¶
当所遇到的非稳态导热问题 Bi>0.1，或者研究目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，就不能将问题简化为集中体来处理了。
无限大平板的分析解¶
描述
厚度 2 \(\delta\) 的无限大平壁，\(\lambda\)、a 为已知常数，\(\tau\) =0 时温度为 t 0，突然将其放置于温度为 \(t_\infty\) 并保持不变的流体中，两侧表面与介质之间的表面传热系数为 h。
- 无限大平板：
- 长度和宽度远大于厚度
- 几何尺寸相当，除了左右的侧面其余四周绝热
分析物理问题可知：中心截面为对称面
同样引入过余温度，简化后的解为
傅里叶数—表示过程进行的深度
- 解是一个无穷级数
- 每一项在无穷级数中所占的比例不同（无穷级数的特征方程的 n 个根的值）
- Fo>0.2 时，只保留第一项误差不大于 1％
非稳态导热的正规状况阶段¶
- 当 Fo>0.2 后，对于上式，只取级数的第一项计算和完整级数计算误差很小 (<1%)。
- 平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与时间无关。
- \(\beta_n\)：是由特征方程确定的特征值（与边界条件、几何形状相关）；
- \(\mu_n\) 与 \(\beta_n\delta\) 对应，是特征方程的根
正规状态的解为
- Fo↑，初始条件的影响减弱，边界条件的影响增强。当 Fo 大于一定值后，初始条件的影响可以忽略不计。
三种形状物体的解的表达式
正规状况阶段的实用计算方法¶
采用近似拟合公式 Campo 方法¶
拟合公式：
参数的值：
其中的参数查表获得
见教材表 3-2 和 3-3
图线法（采用 Heisler 的 nomogram 图）¶
首先由毕渥数和傅里叶数得出中心的过余温度和初始过余温度的比值的图像，再由上面的式子计算任意一点的
两个图像叠加一下就可以求出来
同样的方式还可以求出传递的热量的值
步骤
- 定义无量纲的量：\(\frac{Q_\tau}{Q_0}\)
- Qτ为 0~\(\tau\) 时间内传递的热量
- Q 0 非稳态导热过程所能传递的最大热量：\(Q_0=\mu\theta_0V\)
使用这个图像计算¶
- 使用两个常数求中间温度的比值
- 使用毕渥数和厚度求当前位置温度的比值（与中间）
- 使用毕渥数和厚度求当前温度与中间的比值
- 再求出中间/初始，使用毕渥数、比值得出 Fo
- Bi 数、Fo 数 ——>Q/Q 0
适用的范围
- \(Fo>0.2\)，即要求正规状况阶段，无穷级数解只需取第一项。
这里 Fo 是傅里叶数，反映热扰动在物体内传播的深度与物体特征长度的比值等，当 Fo 大于 0.2 时，用集总参数法分析温度变化，无穷级数解取第一项就足够准确。 - 边界条件为第三类或者第一类（\(Bi→∞\)）。
Bi 是毕渥数，第三类边界条件是对流换热边界条件，第一类边界条件是给定壁面温度，当 Bi 趋近于无穷大时，也可近似用集总参数法。 - 边界条件：一侧绝热，另一侧为第三类。
一侧绝热意味着该侧没有热量传递，另一侧是对流换热边界，这种情况下也可考虑集总参数法。 - 初始温度均匀。
即物体在初始时刻，整个物体的温度是均匀一致的，这是集总参数法适用的初始条件要求。 - 加热或冷却均可。
说明不管是物体被加热升温，还是被冷却降温的过程，只要满足前面的条件，都可以用集总参数法来分析其温度随时间的变化。
一般步骤
- 先校核 Bi 数是否满足集中参数法条件，若满足，则优先考虑集中参数法。
- 如不能用集中参数法，则尝试用 Campo 拟合公式或 Heisler 图。
- 若上述方法都不行则采用数值解。
半无限大物体非稳态导热¶
- 定义
- 几何上：其特点是从 x=0 的界面开始可以向 x 正的方向及其它两个坐标 (y, z) 方向无限延伸。
- 从物理上说，当物体表面上发生的热扰动的影响，尚未波及到物体内部某一位置，就可以把从该表面开始到未受影响的部分的物体看成是半无限大的（也就是一直有非正规阶段的）
-
数学描述：（第一类边界条件，在 x=0 的一侧表面温度突然升高到 tw ，并保持不变）
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \theta}{\partial \tau} = \alpha \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} \\ \tau = 0, \theta = \theta_0 \\ x = 0, \tau > 0, \theta = 0 \\ x \rightarrow \infty, \tau > 0, \theta = \theta_0 \end{array} \right. \]
解：
热流量：
-
任意一处的：
\[ q_x=-\lambda\frac{\partial t}{\partial x}=\lambda\frac{t_w-t_0}{\sqrt{\pi a\tau}}e^{-x^2/(4a\tau)} \] -
表面的：
\[ q_w=\lambda\frac{t_w-t_0}{\sqrt{\pi a\tau}} \] -
所有流入内部的热量（\(\tau\) 时间内）
$$ Q=A\int_0^\tau q_wd\tau=A\int_0^\tau\lambda\frac{t_w-t_0}{\sqrt{\pi a\tau}}d\tau=2A\sqrt{\frac{\tau}{\pi}}\sqrt{\rho c\lambda}\left(t_w-t_0\right) $$
-
吸热系数：
\[ \sqrt{\rho c\lambda} \]
二维及三维非稳态导热的求解¶
几个典型问题的乘积解法¶
- 在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得
- 无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体
适用条件
- 规则形状物体
- 第三类或者第一类边界条件（无穷时）
- 初始温度均匀、常数
- 常物性、无内热源
小结¶
对第三类的边界条件
- 首先尝试集中参数法，计算 Bi（其中可以用 \(V/A\) 作为特征尺度）。如果 \(Bi < 0.1\)，则采用集中参数法。
- 如果 \(Bi > 0.1\)，则计算 Fo。如果 \(Fo < 0.05 \sim 0.06\)，则可将导热物体看成半无限大的物体，采用式（3 - 38）计算物体中的温度。
- 如果 \(Bi > 0.1\)、\(0.06 < Fo < 0.2\)，则对可以作为一维问题处理的导热物体，需采用完全的级数解。注意，求解多维问题的乘积解法对于非稳态导热的初始阶段也是适用的。
- 如果 \(Bi > 0.1\)、\(Fo > 0.2\)，则可采用正规状况阶段的简化解法。建议采用拟合公式（3 - 33）进行计算。
做题¶
一维平板
- 首先所有的公式针对的但是两侧面对流导热，其余绝热的计算公式，所以一侧对流，一侧绝热时，可以看做是两倍厚度的平板，绝热面变为中心面
- 平板中的厚度都是 \(2\delta\)，所有计算的时候将接触外界的两个面之间的厚度除以 2 才是用到的厚度，坐标原点在中点
导热问题的数值解法¶
数值解法的基本思想¶
将之前分析解的连续——>离散，微分方程——>代数方程
数值解：
用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度的集合代替连续的温度场
用大量的代数方程代替微分方程
数值解
- 近似解
- 弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题有优越性
- 相对实验法成本低
基本步骤¶
- 物理问题：2 D、矩形域、稳态、无内热源、常物性的导热问题，IBC & IIBC & IIIBC
- 区域离散
将求解区域按照一定规则划分为许多小区域，这个过程称作区域离散。每个小的区域 (控制容积) 的物理量值由一个点—节点来表示
- 四个几何要素：
- 节点：所求解未知量的位置内节点和边界节点
- 控制容积：节点的影响域
- 界面：控制容积的分界位置
- 网格线：沿坐标方向相邻节点连接成的线簇
- 建立节点物理量的代数方程
每一个节点都和与它相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称为节点的离散方程。
-
求解代数方程组
\[ t_{m,n}=f\left(t_{m+1,n},t_{m-1,n},t_{m,n+1},t_{m,n-1}\right) \]对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。
-
整体的流程：
节点离散方程的建立¶
内节点离散方程的建立¶
泰勒技术展开法¶
对下面的微分方程进行方程的建立：
两式子相加，得到的将目标函数放在左边，有：
最右侧的是截断误差：\(\Delta x\) 的最低阶数为 2
称之为中心差分
y 的微分方程也同理，最后得到的微分方程变为的代数方程为（将截断误差省略）
注意
- 数值解是一种近似解
- 各阶导数的差分表达式分子各项系数代数和为 0
热量守恒法¶
- 基本思想：
对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式 - 能量守恒定律；Fourier 导热定律
具体推导
最后得到的代数方程为：
边界节点离散方程的建立¶
- 第一类边界条件：
边界温度已知，代数方程组封闭 - 第二三类边界条件：
边界温度未知，代数方程组不封闭
建立第二三边界节点的离散方程
假设物体内部有内热源，网格均匀
中间这个点为平直边界
右上角这个点
不规则边界使用阶梯逼近
代数方程的求解¶
n 个位置的节点的温度，n 个代数方程式
直接解法¶
- cramer 法则
- 高斯消元
迭代法¶
先有一个所有的初始值，之后将初始值带入，不收敛的话（也就是带入计算的值和设计的值不一样，差距比较大），下一轮迭代使用的就是上一轮的结果（还有本轮上面式子中得到的新值）
收敛
主对角占优原则
- 迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数（主对角的值）总是大于或等于该式中其它变量系数绝对值的代数和，此时，用迭代法求解代数方程，一定收敛
主对角上的值占优原则
对流问题¶
数学描写¶
三大控制方程
其中的能量守恒方程为
流体外掠平板换热层流分析解及比拟理论¶
分析解¶
下面的这些计算公式适用于层流的边界层
所以要先算一下雷诺数，下面是临界的雷诺数，我们现在的平板绕流使用的是Re≈5×10⁵
- 圆管内流动（最经典场景）：临界值 Re=2300
- Re＜2300：流动为层流，流体沿管轴分层流动，无横向混合。
- Re＞2300：流动为湍流，流体运动杂乱无章，伴有涡旋和强烈混合。
- 2300≤Re≤4000：过渡流，流动状态不稳定，可能在层流与湍流间切换。
- 其他常见场景临界值
- 平板绕流（沿平板流动）：临界 Re≈5×10⁵（基于平板长度），Re＜该值为层流边界层。
- 明渠流动（如河道、水槽）：临界 Re≈500（基于水力半径），Re＜500 为层流。
边界层厚度：
范宁阻力系数
局部表面传热系数 (其中的 Pr 普朗特数是物质的基本性质，可以查表得到)
速度边界层和温度边界层厚度的比较：
特征数方程¶
局部对流传热系数特征数方程：
- 努塞尔数与雷诺数和普朗特数的关系： \(Nu_{x}=0.332\mathrm{Re}_{x}^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}\)
- 雷诺数：\(Re_{x}=\frac{u_{\infty}x}{\nu}\)
- 努塞尔数：\(Nu_x=\frac{h_xx}{\lambda}\)
这里的的 \(\lambda\) 为流体的导热系数（与毕渥数的区别）
解题
所以在 Re<=5 ×105，使用这个公式计算：
普朗特数
流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越大，粘性的影响传递越远，因而流动边界层越厚。相类似，热扩散率越大则温度边界层越厚。
普朗特数反映了流动边界层与温度边界层厚度的相对大小。
分类
由普朗特数的分类
类比法的基本思想¶
定义：两个不同的物理现象之间控制方程方面的类似性，通过测定其中一种的规律获得另一种的基本关系
- 无量纲的自变量
除以尺寸、速度
过余温度
湍流边界层的范围内：
是在普朗特数为 1 的条件下得到的局部的 Nu 和 Re 的关系
相似原理和量纲分析¶
几何相似、运动相似、热相似
汽车振动的模拟，锅炉的实验
物理量场相似
- 同类的现象，如果在相应的时刻及相应的地点上与现象有关的物理量一一对应成比例，称此两现象彼此相似。
基本内容
- 凡彼此相似的现象，同名的相似特征数相等
- 同类现象中的相似特征数的数量由 \(\pi\) 动力规定
- 一个表示 n 个物理量间关系的量纲一致的方程式，一定可以转换成包含个 n-r 独立的量纲为一的物理量群间的关系式。
- r 为包含的基本量纲的数目
- 相似的充要条件：同名的已定特征数相等，单值性条件相似（初始条件和边界条件）。
例如一维非稳态的导热问题的方程变为无量纲数的解为：
则最后的解一定是这样的函数：\(\Theta=f\left(Fo,Bi,\frac{x}{\delta}\right)\)
量纲分析法
- 找出各个物理量中的基本量的量纲（数目为 r）
- 选择 r 个基本物理量，与其余的 n-r 个量组成 n-r 个无量纲量（待定系数）
- 根据量纲和谐的要求，求出待定的系数，将 n-r 个无量纲量表示出来
-
得出简化后的关系式：（将七个变量变为了三个变量）
\[ Nu=hd/\lambda=f(Re,Pr) \]
之前的：\(h=f(\rho,c_p,\lambda,\eta,u,d)\)
相似原理应用¶
- 减少实验的次数，变量少了
- 特征数方程的常见形式：相似原理说明相似准则数之间有内在联系，常见的函数形式有经验性
- 幂函数
- 理论分析得出包含待定参数结果+实验确定待定参数
- 对已定准则变化范围很宽的情形, 可以采取：
指导实验
- 模化实验：不同的尺寸的模型来研究实际物体的物理过程
- 对现象起到决定性作用的特征数相等
单相对流传热的实验关联式¶
内部强制对流传热的实验关联式¶
管槽内强制流动与传热的特点¶
圆管内部的流动，如进气道这些
分为层流和湍流的两种流态
入口段与充分发展段
内部流动过程中，固体表面附近的边界层在形成和发展过程中会相互干扰，直至可能汇合。
层流时的入口段长度的计算公式：
流动入口：
热入口段：
对于湍流来说：\(l/d>10\)，两者的入口段长度是相等的
前面的图像是层流，后面的图像是湍流
充分发展后的对流换热系数不再变化
典型边界条件下的壁温和流体的平均温度
左侧为均匀热流的条件，右侧为均匀壁面温度的条件（红色的线是壁温）
- 对前一个图像，在入口段，h 减小，\(q=h\Delta t\)，则温差增大；充分的发展段，h 不变，温差不变
- 两者都是稳态的问题，温度不随时间发生变化，只在 x 方向变化
某一截面上流体的平均温度计算：
计算平均表面换热系数
对于均匀热流的条件：平均温差为充分发展段的温差：\(t_{_w}-t_{\mathrm{f}}\)，作为平均温差
对于均匀壁面的情况，局部的温差是不断变化的：使用对数平均温差
其中的分子是两端的温差，w为壁面的温度，需要计算平均温差 计算平均温差，最后再使用
计算换热系数
管槽内的湍流的强制流动的对流传热关系式¶
最普遍的关系式
加热流体时，n=0.4，冷却流体时，n=0.3
计算的步骤
- 首先使用流体的平均温度计算，作为定性温度（确定流体的物理性质）
- 使用上面确定的性质和流速计算雷诺数，判断是否是湍流
- 是的话使用上面的公式计算努塞尔数和对流换热系数
- 使用 \(\phi=\rho u\frac{\pi d^2}{4}c_{_p}(t_{_f}^{\prime\prime}-t_{_f}^{\prime})\)，热力学公式计算流体吸收或者是放出的热量（温度为出口的温度减去入口的温度）
- 使用对流换热公式计算壁温：\(t_{_w}=t_{_i}+\frac{\Phi}{h_{_m}A}\)
此时的对流换热公式的温差使用的是算术平均值的温差，即壁温减去流体进出口温度的算术平均值；有时会用到对数平均温差，就是上面的公式（当流体的进出口的温差不大时，使用两个计算公式的差别不大）
充分发展段的对流换热系数以及努塞尔数是定值
对于层流湍流，什么形状都是成立的，对于均匀热流还是均匀壁温都是成立的
那么这个定值是多少：见表 6-1
- 螺旋管中得了就都给：会出现涡流（二次环流）, 会导致强化传热
外部流动强制对流传热实验关联式¶
流动导致边界层分离
外掠单管¶
就是从侧向迎风的圆管
-
脱体的位置：
\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=0,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0 \]脱体的位置取决于 Re - 前半周：加速流动 - 后半周：减速流动
局部表面传热系数
一个实际问题：内部均匀加热的圆柱放在空气中吹风（横掠）冷却，圆柱表面何处温度最高？
温度的最高点：
- 层流脱体：\(\varphi = 80 - 85^\circ\)
- 转捩：\(\varphi = 85 - 90^\circ\)
也就是下面的曲线的最低点的位置
- 拐点产生的原因：
层流：脱体（脱体的扰动强化了传热）
湍流：脱体+转捩（第一次的回升是由于转变成为湍流，第二次回升的原因是脱体）
外掠球时¶
表面的传热系数的计算
流体横掠光管管束的实验结果¶
排列方式的影响¶
叉排的传热更加剧烈，由于叉排的传热更加强烈
影响的因素¶
排列的方式，雷诺数，普朗特数
计算
- 首先查出普朗特数、粘度，导热系数等等物性
- 之后计算雷诺数
- 使用表 6-6 中的关联式进行计算努塞尔数，进而计算出表面的对流换热系数
- 使用表 6-8 中的修正系数与 3 中的计算结果相乘得到的就是最后的结果
肋片管束的实验结果¶
这里的公式都是经验式的公式
球状的颗粒堆积结构的对流传热的关联式¶
气固反应
-
当量直径：
\[ d_{_h}=d\frac{\phi}{1-\phi} \]其中的\phi 是孔隙率，表示孔隙的部分占总的体积的比率
自然对流传热¶
流动的机理¶
- 驱动力：温度场不均匀——>密度不均匀——>浮升力
是重力的作用 - 说明
不均匀的温度场不一定自然对流
换热弱，但是经济、安全、安静
物体表面的总的传热量通常需要考虑自然对流以及与周围的其他表面的辐射传热（不能忽略） - 自然对流温度的分布
曲线一条是同一 x 时，温度随着 y 的变化，一个正好分过来 -
两种的流动状态
- 层流
- 湍流
判别的特征数是 Gr 数
控制方程以及相似特征数¶
连续性方程
动量守恒
能量守恒方程
对上述的方程进行无量纲化
导出的方程：
将无量纲的量带入我们的动量方程
将得到的系数进行变换：
格拉晓夫数：Gr, 表示浮升力与粘性力之比的度量，表达式如下
它在自然对流中的作用与雷诺数在强制对流现象中的作用相当，Gr 的增大表示浮升力的作用相对增大，\(Re=f(Gr)\) 可以使用 Gr 表示 Re，所以自然对流的热准则方程式为：
-
瑞利数
\[ Ra=GrPr=\frac{g\alpha_\nu\Delta tl^3}{a\nu} \]
大空间的自然对流换热的实验关联式¶
-
均匀壁温：
-
使用的关联式形式：
\[ Nu=C\left(GrPr\right)^n=C\left(Ra\right)^n \]常见的 C 和 n 的值看 6-9 表
定性温度为壁温和气体温度的均值
特征长度为表面高度H（竖平板及竖圆柱），或外径d（横圆柱） -
* 上式虽然是对均匀壁温得出，但对非均匀壁温情形也近似适用，取其平均壁温计算。
- Gr 中\(\alpha\)：气体按理想气体处理\(\alpha = 1/T_{\text{m}}\)；液体查物性手册。
- 一般地，\(n = \begin{cases} 1/4, & \text{laminar flow} \\ 1/3, & \text{turbulent flow} \end{cases}\)
- 竖圆柱可以归为竖壁的条件：\(\frac{d}{H} \geq \frac{35}{Gr_{H}^{1/4}}\)
- 在湍流范围以内，Nu中的l与Gr中的l可以消掉，h与高度l无关 ——“自模化”
- 平面
- 球
- 均匀热流的条件
\[ Gr^*=GrNu=\frac{g\alpha\Delta tl^3}{\nu^2}\frac{lh}{\lambda}=\frac{g\alpha ql^4}{\nu^2\lambda} \]\[ Nu=B\left(Gr^*Pr\right)^m \]参数的值查表
-
有限空间的自然对流的实验关联式¶
- 两种典型的：
竖夹层(双层窗)
水平夹层(太阳能集热器的空气夹层) - 特点：
- ① 夹层厚度对流动的发展有重要影响
- ② 冷、热面温差是引起流动的动力
- ③ 一般以\(\delta\) 为特征长度
- ④ \((t_{\text{h}} - t_{\text{0}})\)为计算Gr的温差
- 实验关联
- 竖夹层：
- 水平夹层：
- 竖夹层：
混合对流¶
既有强制对流，也有自然对流
使用两个数值的比值进行判断
当比值为 1 附近时，为混合对流的形式：
n=3-4,流动方向相同，+；流动方向相反，-
单相对流强化传热¶
一定的温差和材料消耗下，增加表面传热系数或减小对流传热热阻的技术。
常见的
- 有源强化（主动强化）—需要附属设备以及额外功率
机械、电、磁、声 - 无源强化（被动强化）—无需外加动力
粗糙元、肋片、插件、纵向涡发生器、
场协同理论
相变对流传热¶
凝结传热的模式¶
- 定义：蒸汽与低于其饱和温度的壁面接触时形成液体的过程。
- 两种存在形式：润湿性液体，非润湿性液体。
- 两种形式的凝结换热
- 膜状凝结(film condensation)
沿整个壁面形成一层薄膜，并且在重力的作用下流动。
- 珠状凝结：
当凝结液体不能很好的浸润壁面时，则在壁面上形成许多小液珠。
- 膜状凝结(film condensation)
比较
- 珠状凝结的对流换热系数高
- 但是珠状的凝结很难保持，工程中大多数属于膜状凝结
- 所以设计的依据是膜状凝结
膜状凝结分析解及计算关联式¶
层流膜状凝结的分析解
对上述的实际问题的简化
- 常物性；
- 饱和蒸汽总体静止；
- 液膜惯性力可以忽略；
- 汽液界面上无温差；
- 膜内温度线性分布；
- 液膜的过冷度忽略；
- 忽略蒸汽密度；（只有液体的温度）
- 液膜表面光滑平整无波动。
同时假设气液表面的切应力可以忽略
边界层理论：略去主流方向二阶导数项
通过以上的假设得到的方程为：
由气液表面无温差、气液界面无粘滞力得到的边界条件是：
求解的结果是：
但是求解的结果中的液膜的厚度怎么求？
-
液膜厚度 \(\delta\)
-
通过x = l处，宽为1 m的壁面凝结质量流量为：
\[ q_{m}=\int_{0}^{\delta}\rho_{1}\cdot u\cdot dy\cdot1=\frac{\rho_{1}^{2}g\delta^{3}}{3\eta_{1}} \] -
在 x 方向上质量流量由于凝结有增量，这部分的增量释放的热量=从液膜导热而出去的热量
-
从而得到厚度的表达式是：
\[ \delta=\left[\frac{4\eta_1\lambda_1(t_s-t_\mathrm{w})x}{g\rho_1^2r}\right]^{1/4} \]
最后得到的对流换热系数是：
沸腾传热模式¶
分为大容器的和管内的
大容器饱和沸腾的区域¶
下图是沸腾曲线
加热杯中的水到饱和温度（气压下沸腾温度）
伸进去电热管，管的温度减去水的饱和温度就是过热温度，可以由过热温度分为四个区域
- 自然对流
从 4~5 摄氏度开始，壁面上没有气泡产生，属于自然对流的工况 - 核态沸腾
温度差> 4 时，产生气泡；气泡的生成、合并和脱离表面造成剧烈的扰动，使得传热系数和热流密度急剧增大- 分为两个区域，开始形成孤立的气泡区
- 随着温差的进一步增加，气泡核心增加，气泡互相影响，合并成为其他块和气柱
- 过渡沸腾
气体附着在表面，蒸汽排除过程恶化，直到下降到最低的热流密度 - （稳定）膜态沸腾
此时形成稳定的蒸汽膜层，产生的蒸汽排除膜层，热流密度随着温差增大
但是由于热阻是热阻较大的气膜，所以传热系数比凝结小得多
同时还有辐射
所以我们要利用的就是核态沸腾
临界热流密度¶
- 核态沸腾的峰值 \(q_{max}\) 为临界热流密度，又叫做烧毁点
- 图中的某个点的对流换热系数是与原点的连线的斜率（所以最大的一点就是过原点对曲线的切点）
气泡动力学¶
能产生气泡的地点——气化核心（气泡使得热流密度比对流换热大几个数量级）
什么样子的容易形成：
不是温度一上升到饱和温度就会产生气泡，必须达到一定的过热度
由于气泡内外有压力差（表面张力引起的）
所以气泡外的液体是过热的
大容器沸腾传热时¶
牛顿冷却公式也是适用的
但是影响因素太多了，计算的误差比较大
沸腾换热之所以换热系数高，换热强烈，是由于气泡产生及脱落造成的扰动引起的
- Rohsenow公式－适用性广 1952年
- 制冷介质饱和核态沸腾的Cooper公式
大容器沸腾的临界热流密度¶
使用下面的经验公式：
沸腾传热的影响因素及其强化¶
- 表面结构与状态
- 过冷度
- 液位高度
- 重力加速度
- 管束的影响
管内的强制对流沸腾¶
管内的气泡不能排出，会不断积累
如图所示：上面就是沸腾的发展，还有就是表面传热系数的发展
热管简介¶
加热段，蒸汽传热
传热到另一段使用冷凝放热
热辐射基本定律和物体的辐射特性¶
热辐射的基本概念¶
- 定义：射是电磁波传递能量的现象;按照产生电磁波原因的不同可以得到不同频率的电磁波;由于热的原因（温度高于 0 K）而产生的电磁波辐射称为热辐射。
- 特点：
- (1) 热辐射能的传递不需要其他介质存在，在真空中传递的效率最高；
- (2) 辐射能量的过程中发生了电磁能与热能两种能量形式的转换。
光速、频率、波长的关系： \(c=f\lambda\)
本章讨论由于热的原因产生的波长位于0.1 ～ 100μm 间的热辐射.
物体对热辐射的吸收、反射和穿透¶
三者之间的一般关系：热辐射在物体表面会发生三种：吸收、反射和穿透
- 对于大多数的固体（不含透明体）和液: 辐射只在表面进行
不会穿透 - 对于二氧化碳、水蒸气等气体: 辐射在这个气体容积中进行
不会反射
三种理想的
- 黑体，全吸收
- 镜题或白体：全反射
- 透明体：全穿透
黑体¶
- 可以全部吸收投射到其表面上的所有波长的辐射能的物体称为黑体
小孔的孔径越小 \(\alpha\) 越大
黑体辐射的基本定律¶
斯忒藩- 玻尔兹曼(Stefan-Boltzmann)定律¶
-
单位时间内黑体单位表面积向半球空间发射的所有波长的能量总和称为辐射力，记为 E，单位：W/m2
\[ E_{\mathrm{b}}=\sigma T^{4}=C_{0}\left(\frac{T}{100}\right)^{4} \] -
\(\sigma\text{称为黑体辐射常数,其值为5.67}\times10^{-8}\mathrm{~W/(m^2\bullet K)}\)
随着温度的升高，辐射力随着温度急剧增加
针对的是所有方向的所有波长
普朗克(Planck)定律¶
- 光谱辐射力：单位时间内单位表面积向其上的半球空间的所有方向辐射出去的在包含波长 \(\lambda\) 在内的单位波长内的能量称为该波长的光谱辐射力。（也就是不同的波长对应的辐射力）
记为 \(E_{b \lambda}\), 单位为
后面×的 m 标识单位波长的意思 -
公式：
\[ E_{b\lambda}=\frac{C_1}{\lambda^5\left(e^{\frac{C_2}{\lambda T}}-1\right)} \]其中的 c 1、c 2 是常数
\(C_1 = 2\pi h c_0^2 = 3.7418 \times 10^8 \, {W·\mu m}^4/{m}^2\)（第一辐射常数），\(C_2 = \frac{h c_0}{k} = 14388 \, {\mu m·K}\)（第二辐射常数）。
此时的波长直接带入微米单位下的即可
- 维恩位移定律：
同一温度下，黑体的光谱辐射力随着波长的增加先增大后减小。
一定温度下的最大的光谱辐射的波长和温度之间的关系是： \(\lambda_\mathrm{m}T=2.8976\times10^{-3}\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\approx2.9\times10^{-3}\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\)
乘积的关系
-
则光谱辐射力与辐射力的关系：
\[ E_{\mathrm{b}}=\int_{0}^{\infty}E_{\mathrm{b}\lambda}\mathrm{d}\lambda=\int_{0}^{\infty}\frac{c_{1}\lambda^{-5}}{e^{c_{2}/(\lambda T)}-1}\mathrm{d}\lambda \]
积分的关系（光谱辐射力关于波长进行定积分）
-
黑体辐射函数：
\[ F_{\mathrm{b}(0-\lambda)}=\frac{\int_{0}^{\lambda}E_{\mathrm{b}\lambda}\mathrm{d}\lambda}{\sigma T^{4}}=\int_{0}^{\lambda}\frac{C_{1}\left(\lambda T\right)^{-5}}{e^{c_{2}/(\lambda T)}-1}\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}(\lambda T)=f(\lambda T) \]表示在 0~\(\lambda\) 的范围内的辐射力占总的辐射力的比
只与温度波长乘积有关（可以查表得出值） - 在任意的波段内的函数是：（作差将积分区间变为区段就行）
\[ E_{\mathrm{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})}=F_{\mathrm{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})}E_{\mathrm{b}}=\left(F_{\mathrm{b}(0-\lambda_{2})}-F_{\mathrm{b}(0-\lambda_{1})}\right)E_{\mathrm{b}} \]
例：分别计算 1000、1400、3000 及 6000 k 下的可见光和红外光分别在黑体总辐射中占的比例
- 列表，计算不同温度、波长下的 \(\lambda T\)，查找对应的 \(F_{\mathrm{b}(0-\lambda)}\)
- 作差，得出某一波长范围内的占比
答案
钢制工件在炉内加热时，随着工件温度的升高，其颜色会逐渐由暗红变成白亮。假设钢件的表面可以作为黑体，试计算工件温度为 900℃及 1100℃时，工件所发出的辐射能中可见光的可见光是温度为 700℃时的多少倍？
λT≤600 μm・K 时 F_{(b (0-λ))}=0；λT=800 μm・K 时 F_{(b (0-λ))}=0.16×10^{-4}。
解：
首先计算不同 \(\lambda T\) 下的 \(F_{b(0-\lambda)}\)，使用的方法是插值法
也就是使用表格种的数值还有题干中给出的数值近似看做线性的关系进行计算：
之后分别计算每个温度下的可见光的能量（使用总能量乘以黑体辐射函数）：
类似将其他温度下的能量求出来之后，进行比值计算即可
则 900℃下的可见光的能量是 700 摄氏度下的 29.6 倍
同理有： 1100℃下是 700 摄氏度下的 206.3 倍
兰贝特定律(Lambert)定律¶
给出了黑体辐射能按空间方向的分布规律。
-
立体角：
\[ \mathrm { d } \Omega = \frac { \mathrm { d } A _ { \mathrm { c } } } { r ^{2} } \Omega = \frac { A _ { \mathrm { c } } } { r ^{2} } \]单位称为空间度，记为 SR。
使用面积除以半径的平方，相当于平面角
使用面积相等的关系：\(dA_{c}=rd\theta•r\sin\phi d\phi\)，得到立体角和经纬度角的关系：\[ d\Omega=d\theta\sin\phi d\phi \]
-
定向辐射强度
从黑体单位可见面积发射出去的落到空间任意方向的单位立体角中的能量，称为定向辐射强度\[ I = \frac { d \Phi ( \theta ) } { d \Omega \bullet d A \cos \theta } \]所以单位的可见面积上对应的辐射能量是相等的
研究黑体辐射在空间不同方向的分布只要查明辐射能按不同纬度角\(\theta\) 分布。（维度角就是与 z 轴的夹角） -
实际的能量是不均匀的，这是因为不同位置的可见面积是不同的，但是同样的可见面积下是相同的
兰贝特定律¶
- 表述：
- 黑体的定向辐射强度是个常量, 与空间方向无关。表述方式
- 黑体单位面积辐射出去的能量在空间的不同方向分布是不均匀的, 按空间纬度角的余弦规律变化。
兰贝特定律与斯芯藩 - 玻尔兹曼定律间的关系¶
对于服从兰贝特定律的辐射有：
对这个半球辐射进行积分：
上述的公式表示单位面积物体的辐射力与定向辐射强度（也是建立在单位面积上的）的关系
例题¶
微元黑体表面对微元立体角的辐射
微元黑体面积 \(dA_{b}=10^{-3}m^{2}\)，相距0.5m处另有三个微元面积 \(dA_{1}, dA_{2}, dA_{1}\),面积均为\(10^{-3}m^{2}\)。计算从 \(dA_{b}\)发出分别落在对 \(dA_{b}\) 所张的三个立体角中的辐射能量。
分析： 先确定三个微元面它们所张的立体角，然后求解能量。
其中的面积 \(A_1\) 不垂直于直径的方向，所以面积需要在直径方向进行投影，之后才能带入求立体角的公式中（如左侧的图所示）
解答：
所以可见法向的能量是最大的，切向的能量是最小的！
固体与液体的辐射特性¶
- 实际物体的辐射特性在与黑体的特性进行对比的基础上进行。气体的辐射与吸收特具有容积特性，本节介绍辐射仅在表面进行的固液物体。
物体的吸收率和发射率
| 参数 | 定义 | 公式表达（数学化定义） | |
|---|---|---|---|
| 吸收率（α） | 物体吸收的入射辐射能与总入射辐射能之比（0≤α≤1） | \(α = \frac{Q_{\text{吸收}}}{Q_{\text{入射}}}\)，其中\(Q_{\text{入射}}\)为全波长 / 半球入射辐射 | |
| 发射率（ε） | 物体实际发射的辐射能与同温度下黑体发射的辐射能之比（0≤ε≤1） | \(ε = \frac{Q_{\text{发射}}}{Q_{\text{黑体发射}}}\)，\(Q_{\text{黑体发射}} = σT^4\)（斯蒂芬 - 玻尔兹曼定律） | |
| 黑体参考 | 理想辐射体（α=1，ε=1），能吸收全部入射辐射，也能发射最大辐射能 | - |
实际物体的辐射力¶
- 物体的辐射力 \(E\) 总是小于同温度下黑体的辐射力，两者之比 \(\varepsilon=\frac{E}{E_{b}}\) 称为发射率（黑度），一般通过实验测定
- \(E=\varepsilon E_{\mathrm{b}}=\varepsilon \sigma T^{4}=\varepsilon C_{0}\left(\frac{T}{100}\right)^{4}\) （也称为四次方定律）
所以能不能引入一个系数
实际物体的光谱辐射力¶
- 实际物体的光谱辐射力随波长作不规则的变化、定性上与普朗克定律一致;
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可见，实际物体要引入系数的话是随着波长变化的，可以由上面的图像进行简化，所以可以引入灰体进行简化
\[ \text{光谱发射率} \; \varepsilon ( \lambda ) = \frac { E _ { \lambda } } { E _ { \mathrm { b } \lambda } } \longrightarrow \varepsilon = \frac { E } { E _ { \mathrm { b } } } = \frac { \int _ { 0 } ^{\infty} \varepsilon ( \lambda ) \, E _ { \mathrm { b } \lambda } \, \mathrm { d } \lambda } { \sigma T ^{4} } \]箭头的左侧为实际的物体，系数随着 \(\lambda\) 变化，右侧是理想的灰体，认为光谱发射率不随波长变化
在工程计算中仍认为一般实际物体的辐射力与热力学温度的四次方成正比，由此引起的修正包括到发射率中去。
实际物体的定向辐射强度¶
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定向发射率：
\[ :\varepsilon\left(\theta\right)=\frac{I\left(\theta\right)}{I_{\mathrm{b}}\left(\theta\right)}=\frac{I\left(\theta\right)}{I_{\mathrm{b}}} \] -
漫射体：定向发射率与角度无关的理想化的物体（发射率等于定向发射率）
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漫射灰体：发射率与角度和波长都无关的理想化物体（发射率=定向发射率=光谱发射率）
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发射率与定向辐射发射率之间的关系：
\[ \varepsilon = \frac { E } { E _ { \mathrm { b } } } = \frac { I _ { \mathrm { b } } \int _ { \Omega = 2 \pi } \varepsilon ( \theta ) \cos \theta \mathrm { d } \Omega } { \pi I _ { \mathrm { b } } } = \frac { \int _ { \Omega = 2 \pi } \varepsilon ( \theta ) \cos \theta \mathrm { d } \Omega } { \pi } \] -
无论金属还是非金属，在半球空间的大部分范围内，定向发射率基本是个常数，故可近似地认为
\[ \mathcal{E}=M\mathcal{E}_{n}\left(\mathcal{E}_{n}\text{法向定向发射率}\right) \]
金属表面 \(M=1.0\sim1.3\) (高度磨光的表面取上限)
对非导体 \(M=0.95\sim1.0\) (粗糙表面取上限)
除高度磨光表面外，工一般取 \(M \approx 1.0\) 。
今后讨论都将物体当作为漫射体处理。
透明体玻璃¶
- 同样有吸收、反射、穿透三种途径:
- \(\alpha \ + \ \rho \ + \ \tau \ = 1\) 窗户用大约3mm厚的玻璃: 对投入的太阳光反射比大约为8%; 吸收比为6%; 穿透比约为86%。
- 玻璃自身的发射比一般约为0.8
气体辐射特性的计算¶
气体对辐射主要是吸收和穿透
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单原子气体和分子结构对称的双原子气体，如空气、氢、氧等并无发射和吸收辐射能的能力，是热辐射的透明体。
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三原子、多原子气体（二氧化碳等）以及结构不对称的双原子气体（一氧化碳）具有相当大的热辐射本领。
特点¶
- 气体辐射和吸收对波长有选择性（只在某些光带内存在辐射和吸收）
- 在某些波长区段内具有辐射能力将吸收能力，这种有辐射能力的波长区段称为光带
- 在光带以外，对热辐射为透明体
在8微米到13微米的波段内大气高度透明（大气中臭氧含量很低），称为大气窗口，为辐射制冷创造了客观的条件
- 辐射和吸收是在整个容积中进行的
气体的辐射和吸收是在整个容积中进行的，与气体所处容器的形状和容积有关。
光谱辐射能在气层中的定向传递¶
随着射线行程的增加，辐射强度减小，衰减按照如下的规律
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贝尔定律：
\[ \longrightarrow I_{\lambda,L}/I_{\lambda,0}=e^{-k_{\lambda}L} \] -
吸收比：
这是某个特定波长的辐射能在某个特定方向上在气体中的传递过程，工程计算确定气体在所有光带范围内辐射能的总和。
平均射线程长的计算¶
- 由于气体容积辐射的特点，辐射力与射线行程的长度（射线程长）有关，后者取决于气体容积的形状和尺寸。
只有半球气体容积对球心 \(dA\) 的辐射，各个方向上的射线程长都是一样的，即半径。
于是采用当量半球的半径作为平均射线程长: 当量半球是指半球内的气体具有与所研究的情况相同的温度、压力和成分时,该半球内气体对球心的辐射力等于所研究情况下气体对指定地点的辐射力。
作业：8-22,23
例题¶
发射率、辐射能的计算
已知一表面的光谱吸收比与波长的关系如附图所示。在某一瞬间，测得表面温度为 1100 K。投入辐射\(G_\lambda\)按波长分布的情形示于附图 b。
(1) 单位表面积所吸收的辐射能；(2) 该表面的发射率及辐射力；(3) 在此条件下物体表面的温度随时间如何变化（即温度随时间增加还是减少），设物体无内热源，没有其他形式的热量传递。
分析：吸收的辐射能直接使用投入辐射乘以对应的吸收率对波长进行积分即可
吸收率等于发射率：使用不同的发射率乘以该发射率下的能量的占比之和就是答案
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分子积分拆分为两段：
\[ \int_{0}^{\infty} \varepsilon_{\lambda} E_{b\lambda} d\lambda = \varepsilon_{\lambda1} \int_{0}^{2} E_{b\lambda} d\lambda + \varepsilon_{\lambda2} \int_{2}^{100} E_{b\lambda} d\lambda \] -
利用黑体辐射函数\(F_{0-\lambda T}\) 简化积分：
黑体辐射函数定义为\(F_{0-\lambda T} = \frac{\int_{0}^{\lambda} E_{b\lambda} d\lambda}{\sigma T^4}\)，表示波长\(0\sim\lambda\)的辐射能占总辐射能的比例。因此：
\[ \int_{0}^{\lambda} E_{b\lambda} d\lambda = F_{0-\lambda T} \cdot \sigma T^4 \]
计算出实际的辐射力之后与吸收的辐射比较确定温度的变化
计算：
（3）由上面的两问，物体吸收的辐射能小于其辐射出去的能量，故温度随时间的延长而降低