前

导入¶

三种方式¶

• 热辐射：物体以发射电磁波（光子）方式传递能量（通过性）

内能（整体功力）=热能+化学能+核能等（内能包含了分子内部的能量）
分子的能量（运动的动能、势能，分子之间的结合能（化学能）、原子核内部的能量（核能））
温度决定热运动的速率，也就是动能

热传导速率¶

傅里叶定律/导热基本定律矢量方程：

q：热流密度，\(W/m^2\)
\(\lambda\) ：导热系数/热导率：\(W/m·K\)
\(\nabla T\)：温度梯度，\(°C /m 或 K/m\)
热量传递指向温度降低方向，与温度升高的方向相反

• \(\phi\)：热流量：W, 单位时间内通过某一给定面积的热流量
• q = \(\phi/A, W/m^2\) , 热流密度

对于一维平壁稳态导热，平壁导热系数为常数：

A：垂直热量传递方向的截面面积

热对流速率¶

• 模式：
  • 随机的分子运动，传输能量
  • 流体整体或者说宏观运动（平流）传输能量
• 分子随机运动与流体整体运动所导致的能量传输的叠加

牛顿冷却公式：

\(h\): 表面传热系数/对流换热系数, (\(W/m^2 . K\))，与边界层中条件相关
\(T_w和T_f\) 分别为壁面温度和流体温度
面积 A 为与流体接触的壁面的面积
表面对流换热速度边界层和热力边界层的关系：

辐射传热速率¶

辐射：气固交界面的传热包括表面辐射、对周围环境投射的吸收(辐照密度 G) 以及对流 \(if 𝑇_𝑠 ≠ 𝑇_∞\)
物体会因为热产生热辐射，同时也在不断吸收其他物体的热辐射，热辐射传热量为 0 时是动态平衡
辐射传热的过程中伴随着能量的转移和能量形式的转换
热力学能——>电磁能——>物体热力学能

辐射向外传递的能量（单位面积）：

投射吸收能量：

Gabs：吸收的入射辐射能，W/m²
α：表面吸收率（0≤α≤1）（与投射辐射的特性及表面本身有关）
G: 辐照密度（W/m²）

但是传热量为向外辐射的和吸收的差值，一种简单的情形：
一个表面积为 A₁、表面温度为 T₁、发射率为ε₁的物体被包含在一个很大的表面温度为 \(T_2\) 的空腔内，辐射换热量为：（物体是凸的）

还可以这样表示：

其中，\(h_r=\varepsilon\sigma(T_s+T_\mathrm{Sur})(T_s^2+T_\mathrm{Sur}^2)\) 为辐射传热系数

传热过程和总传热系数¶

工程中经常遇到热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中的情形，如换热器中热量由热流体传递到冷流体。

传热过程定义及传热方程式¶

上图的热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中
传热方程式：

• k——总传热系数
  • 表示整个传热过程的强弱
  • 与 \(h_1,h_2\) 有关

通过平壁传热过程的总传热系数¶

三个环节：

• 高温流图和其接触的固体的壁面
• 平壁
• 低温流体和接触的壁面

稳态时三个环节传递的热量相等
对上面的式子将壁面的两个温度消去：

最后与传热的方程式对照，得到传热系数的计算式子：

热阻¶

• 类似电阻：
  • 将温度的差 \(\Delta t\) 看做电压
  • 将传热的量 \(\phi\) 看做电流
  • 两者的商就是热阻

热阻的公式（平壁导热阶段的）：

对流传热的热阻：

我们再来看一下之前的通过平壁传热过程的总传热系数
对流——>壁面导热——>对流，三个传热过程的串联

解题流程¶

插入¶

热力学第一定理¶

• 一个时间段内的热力学第一定律：
  • 储存在控制容积内的能量增大的值，必定等于进入控制容积的能量减去离开控制容积的能量
• 总能（E）=机械能＋内能
  • 机械能=动能+势能
  • 内能=热能（显能+潜能）+化学能+核能
    • 显能：与温度和压力有关
    • 潜能：与相变有关
• 传热学：集中注意热能和机械能

对一个瞬间的控制容积¶

控制系统边界：
能量变化：

封闭系统能量守恒¶

M 质量，吸热 Q，对外做功 W¶

引起的总能的变化

若是仅仅考虑内部的热能，在某一瞬间：

开口系统的能量守恒¶

稳定流动的能量守恒（开口）¶

实际上就是热力学中的公式！
热能+流动功+动能+势能（括号里的，有流入的、有流出的）

• \(u_{t}+p\nu\) 为焓
• 对于理想气体：\(h_{\mathrm{in}}-h_{\mathrm{out}}=c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})\)

• 动能和势能省略时：

  \[ \begin{aligned}&\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{in}}-\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{out}}\approx0\\&(gz)_{\mathrm{in}}-(gz)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \]

• 不可压缩的流体：

  \[ \begin{aligned}&u_{\mathrm{in}}-u_{\mathrm{out}}=c(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})\\&(pv)_{\mathrm{in}}-(pv)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \]

表面的能量平衡¶

对于稳态控制体的表面，进出的能量差为 0，因为表面是没有质量和体积的

• 介质表面
• 没有质量、体积

稳态热传导¶

导热的基本定理——傅里叶导热定理¶

• 傅里叶定理：现象学(试验现象的归纳)
  热流密度是一个向量，在二维坐标系中的热流密度与等温表面相垂直
  指出热流密度垂直于等温面，沿温度降低方向

矢量表达式¶

• 在角的坐标系中，温度梯度依然基于几何长度上的温度变化，单位任然为摄氏度/m

导热微分方程/热扩散方程¶

• 基于能量守恒微分控制，能量通过热传导进行
• 直角坐标系中的
  得到的公式：

消去微分项之后得到的公式：

其中的 \(\alpha=\frac{\lambda}{\rho c_p}\)，为热扩散率（系数）
现在要解这个三元的微分方程（温度在时间和空间上都会变化）

• 瞬态的传热，是时间的一阶函数，需要初始的温度分布：

  \[ T(x,t)_{t=0}=T(x,0) \]

• 在空间 \(x\) 上为二阶，需要两个边界条件：常用的有：

关键点¶

导热率：固体>液体>气体
金属一般>非金属，但是也有例外的，比如陶瓷之类的

通过典型集合形状物体的导热¶

稳态的导热特征：

（在固定的空间位置上，温度不随着时间变化，达到传热的平衡）
三种问题

• 平壁的导热，直角坐标系中的一维问题
• 圆筒壁的导热，圆柱形坐标系中的一维问题
• 球壳的导热，球坐标系的一维稳态

平壁的导热¶

情形一¶

基本的条件：1 D、稳态、无内热源、λ为常数、两侧均为第一类边界（知道某一边界上的温度）
数学上的描写：

二次的常微分方程，两个边界条件，最后的数学求解为：

这就是平板内的温度随着 x 坐标的变化率

热阻的角度：

情形二¶

• 问题的语言描述：1 D, 稳态, 无内热源, λ为常数, 一侧为第一类边界，另一侧为第二类（热流密度已知）或第三类边界（换热系数及流体的温度）
• 数学上的描述：

情形三¶

• 描述：1 D, 稳态, 无内热源, 变导热系数, 两侧均为第一类边界

多层平壁的导热¶

由几种不同的材料组成，就是多层平壁
前提：多层平壁，1 D, 稳态，无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界
通过热阻进行计算（两个温度之间所经历的换热的方式）

公式类推：

通过圆筒壁的导热¶

解题时，直接使用结论中的热阻进行解题

通过球壳的导热¶

稳态的方程：

温度分布

热流量：

因为现在讨论的是内部的导热，所以最后内部使用的热流量的计算方程都是导热傅里叶方程

变截面的情况/变导热系数¶

肋片的导热¶

定义：肋片是指依附于基础表面上的扩展表面

特点：在沿着肋高度（宽度）上热流量处处变化（稳态导热），认为厚度上温度均匀

通过上下两个表面不断向周围散热
可以看成是一个负的内热源

结果：

计算得到的肋顶端的温度带入为：

热流量：
物体通过肋片散失掉的热量等于肋片根部热传导，也等于肋片表面对流换热（流的概念，是守恒的，从根部流进去的热量，在不改变温度的情况下，必须在之后流出）

肋效率和肋面总效率¶

定义

对于我们上面讨论的等截面直肋，有

总效率：

也就是一部分的面的温度就是肋底的温度（当有着很多很多的肋时）

肋效能¶

肋效率和肋效能关系

稳态导热的其他情形¶

1. 应用背景：
   1. 导线的通电发热
   2. 化学反应
   3. 核反应的元件发热

均匀的内热源的情况¶

数学描述：

最后的解：

IIIBC 的情况（第三类边界条件）¶

数学

解

通过含内热源实心圆柱的导热¶

数学

解

多维稳态导热问题¶

形状因子法¶

对于一个任意形状的物体，其材料导热系数为常数，无内热源，具有温度均匀、恒定的等温表面t 1、t 2，若其他表面绝热，其导热量的计算公式都可以表示成下面形式：

非稳态导热¶

基本概念¶

分类¶

• 周期性：物体中各点温度随时间周期性变化
• 非周期：物体的温度随时间的推移逐渐趋于某一恒定值

特点¶

1. \(\frac{\partial t}{\partial\tau}\neq0\)：温度随着时间变化
2. 物体中的温度分布存在着两个不同阶段 (非周期性）
   1. 非正规状况：物体中的温度分布主要受初始温度分布控制
   2. 正规状况：初始温度分布影响逐渐消失，物体中不同时刻温度分布主要取决于边界条件及物性
3. 实际上对应的就是自动控制理论中的震荡、稳态吗
4. 在垂直于热量传递方向的每一个截面上，导热量处处不同（这样温度才会变化）
   导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量

数学描写¶

• 条件：
  • 初始条件
  • 边界条件：一般为第三类

热扩散率

第三类条件下的¶

毕渥数

零维问题分析¶

1. 概念
   内部导热热阻远小于表面对流传热热阻时，任意时刻导热体内部各点温度趋于一致，这样导热体的温度仅随时间变化。

只与时间有关，为零维
所以与物体的形状无关

• 方程：

  \[ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\frac{\dot{\Phi}}{\rho c} \]

  与分析肋片导热问题类似，表面上交换的热量折算成整个物体的体积热源

• 控制方程

  \[ \rho Vc\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=-hA(t-t_\infty) \]

  方程只有边界条件

解：

加入无量纲数，幂次变为：

一维非稳态导热的分析解¶

当所遇到的非稳态导热问题 Bi>0.1，或者研究目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，就不能将问题简化为集中体来处理了。

无限大平板的分析解¶

• 无限大平板：
  • 长度和宽度远大于厚度
  • 几何尺寸相当，除了左右的侧面其余四周绝热

分析物理问题可知：中心截面为对称面

同样引入过余温度，简化后的解为

傅里叶数—表示过程进行的深度

• 解是一个无穷级数
• 每一项在无穷级数中所占的比例不同（无穷级数的特征方程的 n 个根的值）
  
• Fo>0.2 时，只保留第一项误差不大于 1％

非稳态导热的正规状况阶段¶

• 当 Fo>0.2 后，对于上式，只取级数的第一项计算和完整级数计算误差很小 (<1%)。
• 平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与时间无关。
• \(\beta_n\)：是由特征方程确定的特征值（与边界条件、几何形状相关）；
• \(\mu_n\) 与 \(\beta_n\delta\) 对应，是特征方程的根

正规状态的解为

• Fo↑，初始条件的影响减弱，边界条件的影响增强。当 Fo 大于一定值后，初始条件的影响可以忽略不计。

上述分别为某一位置和时间的过于温度的计算
和某一时间内物体的累计传热量和总传热量的比值计算

正规状况阶段的实用计算方法¶

采用近似拟合公式 Campo 方法¶

拟合公式：

参数的值：

其中的参数查表获得

见教材表 3-2 和 3-3

图线法（采用 Heisler 的 nomogram 图）¶

首先由毕渥数和傅里叶数得出中心的过余温度和初始过余温度的比值的图像，再由上面的式子计算任意一点的



两个图像叠加一下就可以求出来

同样的方式还可以求出传递的热量的值

使用这个图像计算¶

半无限大物体非稳态导热¶

• 定义
  • 几何上：其特点是从 x=0 的界面开始可以向 x 正的方向及其它两个坐标 (y, z) 方向无限延伸。
  • 从物理上说，当物体表面上发生的热扰动的影响，尚未波及到物体内部某一位置，就可以把从该表面开始到未受影响的部分的物体看成是半无限大的（也就是一直有非正规阶段的）

• 数学描述：（第一类边界条件，在 x=0 的一侧表面温度突然升高到 tw ，并保持不变）

  \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \theta}{\partial \tau} = \alpha \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} \\ \tau = 0, \theta = \theta_0 \\ x = 0, \tau > 0, \theta = 0 \\ x \rightarrow \infty, \tau > 0, \theta = \theta_0 \end{array} \right. \]

解：

二维及三维非稳态导热的求解¶

几个典型问题的乘积解法¶

• 在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得
• 无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体
  

小结¶

做题¶

零维¶

无限大物体¶

半无限大¶

放在一个对流环境中是零维或无限大，某一壁面的温度突变为半无限大
零维温度只与时间有关，无限大与时间空间都有关
一遍绝热，一遍对流也是无限大

导热问题的数值解法¶

数值解法的基本思想¶

将之前分析解的连续——>离散，微分方程——>代数方程
数值解：
用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度的集合代替连续的温度场
用大量的代数方程代替微分方程

基本步骤¶

1. 物理问题：2 D、矩形域、稳态、无内热源、常物性的导热问题，IBC & IIBC & IIIBC
   
2. 区域离散
   将求解区域按照一定规则划分为许多小区域，这个过程称作区域离散。每个小的区域 (控制容积) 的物理量值由一个点—节点来表示
   
3. 四个几何要素：
   1. 节点：所求解未知量的位置内节点和边界节点
   2. 控制容积：节点的影响域
   3. 界面：控制容积的分界位置
   4. 网格线：沿坐标方向相邻节点连接成的线簇
4. 建立节点物理量的代数方程
   每一个节点都和与它相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称为节点的离散方程。
   

5. 求解代数方程组

   \[ t_{m,n}=f\left(t_{m+1,n},t_{m-1,n},t_{m,n+1},t_{m,n-1}\right) \]

   对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。

6. 整体的流程：
   

节点离散方程的建立¶

内节点离散方程的建立¶

泰勒技术展开法¶

对下面的微分方程进行方程的建立：

两式子相加，得到的将目标函数放在左边，有：

最右侧的是截断误差：\(\Delta x\) 的最低阶数为 2
称之为中心差分

y 的微分方程也同理，最后得到的微分方程变为的代数方程为（将截断误差省略）

热量守恒法¶

• 基本思想：
  对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式
• 能量守恒定律；Fourier 导热定律

边界节点离散方程的建立¶

• 第一类边界条件：
  边界温度已知，代数方程组封闭
• 第二三类边界条件：
  边界温度未知，代数方程组不封闭

建立第二三边界节点的离散方程
假设物体内部有内热源，网格均匀

不规则边界使用阶梯逼近

代数方程的求解¶

n 个位置的节点的温度，n 个代数方程式

直接解法¶

1. cramer 法则
2. 高斯消元

迭代法¶

对流问题¶

数学描写¶

三大控制方程

其中的能量守恒方程为

流体外掠平板换热层流分析解及比拟理论¶

分析解¶

下面的这些计算公式适用于外掠平板层流的边界层
所以要先算一下雷诺数，下面是临界的雷诺数，

• 圆管内流动（最经典场景）：临界值 Re=2300
  1. \(Re＜2300\)：流动为层流，流体沿管轴分层流动，无横向混合。
  2. \(Re＞2300\)：流动为湍流，流体运动杂乱无章，伴有涡旋和强烈混合。
  3. \(2300≤Re≤4000\)：过渡流，流动状态不稳定，可能在层流与湍流间切换。
• 其他常见场景临界值
  1. 平板绕流（沿平板流动）：临界 \(Re≈5×10⁵\)（基于平板长度），Re＜该值，为层流边界层。（这章中使用的是这个临界雷诺数）
  2. 明渠流动（如河道、水槽）：临界 Re≈500（基于水力半径），Re＜500 为层流。

主要参数的公式：

• 雷诺数：\(Re=\frac{ul}{\nu}\)：(重点在于特征长度的选取)
  管内流动的计算公式为：\(\mathrm{Re}=\frac{\rho vd}{\mu}=\frac{vd}{\nu}\)（速度乘以水力直径除以运动粘度）
  外掠圆管和球时的特征长度也是直径
  平板为：\(\mathrm{Re}_{cr}=\frac{vL_{cr}}{\nu}\)，特征长度为流体沿着平板流动方向上的形成长度
• 努塞尔数：\(Nu=\frac{hl}{\lambda}\)（\(\lambda\) 为流体的导热系数——查表）
  对于圆管内流动（水力直径）；外掠圆管、球（直径）和平板（长度）时的特征长度与雷诺数一致
• 平板层流速度边界层厚度：（使用的是某处的雷诺数计算）（角标为 \(x\) 的就是某处的，不带的就是整体的）（湍流、管内边界层厚度的计算公式不同）

• 范宁阻力系数

速度边界层和温度边界层厚度的比值：

特征数方程¶

局部对流传热系数特征数方程：

• 局部雷诺数的计算：\(Re_x=\frac{u_\infty x}{\nu}\)
• 局部努塞尔数与局部换热系数的关系：\(Nu_x=\frac{h_xx}{\lambda}\)

我们之后计算的时候使用的都是平均的，也就是对角标为 \(x\) 的进行整个长度上的积分

普朗特数

流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越大，粘性的影响传递越远，因而流动边界层越厚。相类似，热扩散率越大则温度边界层的大小，使用这个公式计算：\(\delta/\delta_t\cong Pr ^{\frac{1}{3}}\)，对大多数的液体来说，热扩散率越大则温度边界层越大。

普朗特数反映了流动边界层与温度边界层厚度的相对大小。

类比法的基本思想¶

定义：两个不同的物理现象之间控制方程方面的类似性，通过测定其中一种的规律获得另一种的基本关系

• 无量纲的自变量
  除以尺寸、速度
  过余温度

湍流边界层的范围内：

是在普朗特数为 1 的条件下得到的局部的 Nu 和 Re 的关系

相似原理和量纲分析¶

几何相似、运动相似、热相似
汽车振动的模拟，锅炉的实验
物理量场相似

• 同类的现象，如果在相应的时刻及相应的地点上与现象有关的物理量一一对应成比例，称此两现象彼此相似。

例如一维非稳态的导热问题的方程变为无量纲数的解为：

则最后的解一定是这样的函数：\(\Theta=f\left(Fo,Bi,\frac{x}{\delta}\right)\)

相似原理应用¶

1. 减少实验的次数，变量少了
2. 特征数方程的常见形式：相似原理说明相似准则数之间有内在联系，常见的函数形式有经验性
   1. 幂函数
   2. 理论分析得出包含待定参数结果+实验确定待定参数
   3. 对已定准则变化范围很宽的情形, 可以采取：

单相对流传热的实验关联式¶

内部强制对流传热的实验关联式¶

管槽内强制流动与传热的特点¶

圆管内部的流动，如进气道这些
分为层流和湍流的两种流态
管内强制流动的雷诺数的计算公式是： （临界雷诺数为 2300）

其中的 \(d\) 是水力直径

入口段与充分发展段
内部流动过程中，固体表面附近的边界层在形成和发展过程中会相互干扰，直至可能汇合。

层流时的入口段长度的计算公式：
流动入口：

热入口段：（传热学一般使用的是这个，判断是不是热的入口段）

对于湍流来说：\(l/d>10\)，两者的入口段长度是相等的

前面的图像是层流，后面的图像是湍流
充分发展后的对流换热系数不再变化

• 对前一个图像，在入口段，h 减小，\(q=h\Delta t\)，则温差增大；充分的发展段，h 不变，温差不变
• 两者都是稳态的问题，温度不随时间发生变化，只在 x 方向变化

某一截面上流体的平均温度计算：

层流热入口段的对流换热系数的计算公式为：（充分发展段的要根据形状查表得到）

其中的 \(\mu_f\) 是流体温度下的动力粘度
另一个是流体在壁面温度下的动力粘度
这里的 \(d_e\) 也是水力直径：\(d_e=\frac{4A}{P}\)，其中 A 是流动截面积，P 是湿周（与流体接触的壁面周长）
层流充分发展段的对流换热系数以及努塞尔数是定值
对于什么形状都是成立的，对于均匀热流还是均匀壁温都是成立的
那么这个定值是多少：见表 6-1

管槽内的湍流的强制流动的对流传热关系式¶

湍流最普遍的关系式

• 雷诺数的计算公式： \(Re_{x}=\frac{u_{\infty}x}{\nu}\)
• 努塞尔数与对流换热系数的关系 \(Nu_x=\frac{h_xx}{\lambda}\)（这里的 \(x\) 是圆管的直径）
  流体被加热时，n=0.4，流体被冷却时，n=0.3

• 螺旋管中得了就都给：会出现涡流（二次环流）, 会导致强化传热

外部流动强制对流传热实验关联式¶

流动导致边界层分离

外掠单管¶

就是从侧向迎风的圆管

• 脱体的位置：

  \[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=0,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0 \]

  脱体的位置取决于 Re

• 前半周：加速流动

• 后半周：减速流动
  

局部表面传热系数

• 拐点产生的原因：
  层流：脱体（脱体的扰动强化了传热）
  湍流：脱体+转捩（第一次的回升是由于转变成为湍流，第二次回升的原因是脱体）

外掠球时¶

表面的传热系数的计算

流体横掠光管管束的实验结果¶

排列方式的影响¶

叉排的传热更加剧烈，由于叉排的传热更加强烈

影响的因素¶

排列的方式，雷诺数，普朗特数

肋片管束的实验结果¶

这里的公式都是经验式的公式

球状的颗粒堆积结构的对流传热的关联式¶

气固反应

1. 当量直径：

   \[ d_{_h}=d\frac{\phi}{1-\phi} \]

   其中的\phi 是孔隙率，表示孔隙的部分占总的体积的比率

自然对流传热¶

流动的机理¶

1. 驱动力：温度场不均匀——>密度不均匀——>浮升力
   是重力的作用
2. 说明
   不均匀的温度场不一定自然对流
   换热弱，但是经济、安全、安静
   物体表面的总的传热量通常需要考虑自然对流以及与周围的其他表面的辐射传热（不能忽略）
3. 自然对流温度的分布
   
   曲线一条是同一 x 时，温度随着 y 的变化，一个正好反过来

4. 两种的流动状态

   1. 层流
   2. 湍流
      判别的特征数是 Gr 数

   

控制方程以及相似特征数¶

连续性方程
动量守恒
能量守恒方程

对上述的方程进行无量纲化
导出的方程：

将无量纲的量带入我们的动量方程
将得到的系数进行变换：

格拉晓夫数：Gr, 表示浮升力与粘性力之比的度量，表达式如下

它在自然对流中的作用与雷诺数在强制对流现象中的作用相当，Gr 的增大表示浮升力的作用相对增大，\(Re=f(Gr)\) 可以使用 Gr 表示 Re，所以自然对流的热准则方程式为：

• 瑞利数

  \[ Ra=GrPr=\frac{g\alpha_\nu\Delta tl^3}{a\nu} \]

大空间的自然对流换热的实验关联式¶

1. 均匀壁温：

   1. 使用的关联式形式：

      \[ Nu=C\left(GrPr\right)^n=C\left(Ra\right)^n \]

      常见的 C 和 n 的值看 6-9 表
      定性温度为壁温和气体温度的均值
      特征长度为表面高度 H（竖平板及竖圆柱），或外径 d（横圆柱）

   2. * 上式虽然是对均匀壁温得出，但对非均匀壁温情形也近似适用，取其平均壁温计算。

   3. Gr 中 \(\alpha\)：气体按理想气体处理 \(\alpha = 1/T_{\text{m}}\)；液体查物性手册。
   4. 一般地，\(n = \begin{cases} 1/4, & \text{laminar flow} \\ 1/3, & \text{turbulent flow} \end{cases}\)
   5. 竖圆柱可以归为竖壁的条件：\(\frac{d}{H} \geq \frac{35}{Gr_{H}^{1/4}}\)
   6. 在湍流范围以内，Nu 中的 l 与 Gr 中的 l 可以消掉，h 与高度 l 无关 ——“自模化”
   7. 平面
   8. 球
   9. 均匀热流的条件
   \[ Gr^*=GrNu=\frac{g\alpha\Delta tl^3}{\nu^2}\frac{lh}{\lambda}=\frac{g\alpha ql^4}{\nu^2\lambda} \]
   \[ Nu=B\left(Gr^*Pr\right)^m \]

   参数的值查表

有限空间的自然对流的实验关联式¶

• 两种典型的：
  竖夹层 (双层窗)
  水平夹层 (太阳能集热器的空气夹层)
• 特点：
  • ① 夹层厚度对流动的发展有重要影响
  • ② 冷、热面温差是引起流动的动力
  • ③ 一般以 \(\delta\) 为特征长度
  • ④ \((t_{\text{h}} - t_{\text{0}})\) 为计算 Gr 的温差
    
• 实验关联
  1. 竖夹层：
     
  2. 水平夹层：
     

混合对流¶

既有强制对流，也有自然对流

使用两个数值的比值进行判断
当比值为 1 附近时，为混合对流的形式：

n=3-4, 流动方向相同，+；流动方向相反，-

单相对流强化传热¶

一定的温差和材料消耗下，增加表面传热系数或减小对流传热热阻的技术。

场协同理论

相变对流传热¶

凝结传热的模式¶

• 定义：蒸汽与低于其饱和温度的壁面接触时形成液体的过程。
• 两种存在形式：润湿性液体，非润湿性液体。
  
• 两种形式的凝结换热
  • 膜状凝结 (film condensation)
    沿整个壁面形成一层薄膜，并且在重力的作用下流动。
    
  • 珠状凝结：
    当凝结液体不能很好的浸润壁面时，则在壁面上形成许多小液珠。
    

膜状凝结分析解及计算关联式¶

层流膜状凝结的分析解

同时假设气液表面的切应力可以忽略
边界层理论：略去主流方向二阶导数项

通过以上的假设得到的方程为：

由气液表面无温差、气液界面无粘滞力得到的边界条件是：

求解的结果是：

但是求解的结果中的液膜的厚度怎么求？

• 液膜厚度 \(\delta\)

  • 

  • 通过 x = l 处，宽为 1 m 的壁面凝结质量流量为：

    \[ q_{m}=\int_{0}^{\delta}\rho_{1}\cdot u\cdot dy\cdot1=\frac{\rho_{1}^{2}g\delta^{3}}{3\eta_{1}} \]

  • 在 x 方向上质量流量由于凝结有增量，这部分的增量释放的热量=从液膜导热而出去的热量

  • 从而得到厚度的表达式是：

    \[ \delta=\left[\frac{4\eta_1\lambda_1(t_s-t_\mathrm{w})x}{g\rho_1^2r}\right]^{1/4} \]

最后得到的对流换热系数是：

整个竖壁的平均对流传热系数为：

定性温度为算术平均值

特殊的情况：
1. 水平圆管外层流膜状凝结：

1. 球表面外：

沸腾传热模式¶

分为大容器的和管内的

大容器饱和沸腾的区域¶

下图是沸腾曲线

加热杯中的水到饱和温度（气压下沸腾温度）
伸进去电热管，管的温度减去水的饱和温度就是过热温度，可以由过热温度分为四个区域

1. 自然对流
   从 4~5 摄氏度开始，壁面上没有气泡产生，属于自然对流的工况
2. 核态沸腾
   温度差> 4 时，产生气泡；气泡的生成、合并和脱离表面造成剧烈的扰动，使得传热系数和热流密度急剧增大
   • 分为两个区域，开始形成孤立的气泡区
   • 随着温差的进一步增加，气泡核心增加，气泡互相影响，合并成为其他块和气柱
3. 过渡沸腾
   气体附着在表面，蒸汽排除过程恶化，直到下降到最低的热流密度
4. （稳定）膜态沸腾
   此时形成稳定的蒸汽膜层，产生的蒸汽排除膜层，热流密度随着温差增大
   但是由于热阻是热阻较大的气膜，所以传热系数比凝结小得多
   同时还有辐射

所以我们要利用的就是核态沸腾

临界热流密度¶

• 核态沸腾的峰值 \(q_{max}\) 为临界热流密度，又叫做烧毁点
• 图中的某个点的对流换热系数是与原点的连线的斜率（所以最大的一点就是过原点对曲线的切点）

气泡动力学¶

能产生气泡的地点——气化核心（气泡使得热流密度比对流换热大几个数量级）

什么样子的容易形成：

不是温度一上升到饱和温度就会产生气泡，必须达到一定的过热度
由于气泡内外有压力差（表面张力引起的）
所以气泡外的液体是过热的

大容器沸腾传热时¶

牛顿冷却公式也是适用的
但是影响因素太多了，计算的误差比较大
沸腾换热之所以换热系数高，换热强烈，是由于气泡产生及脱落造成的扰动引起的

• Rohsenow 公式－适用性广 1952 年

• 制冷介质饱和核态沸腾的 Cooper 公式

大容器沸腾的临界热流密度¶

使用下面的经验公式：

沸腾传热的影响因素及其强化¶

1. 表面结构与状态
2. 过冷度
3. 液位高度
   
4. 重力加速度
5. 管束的影响

管内的强制对流沸腾¶

管内的气泡不能排出，会不断积累

如图所示：上面就是沸腾的发展，还有就是表面传热系数的发展

热管简介¶

加热段，蒸汽传热
传热到另一段使用冷凝放热

热辐射基本定律和物体的辐射特性¶

热辐射的基本概念¶

• 定义：射是电磁波传递能量的现象; 按照产生电磁波原因的不同可以得到不同频率的电磁波; 由于热的原因（温度高于 0 K）而产生的电磁波辐射称为热辐射。
• 特点：
  • (1) 热辐射能的传递不需要其他介质存在，在真空中传递的效率最高；
    
  • (2) 辐射能量的过程中发生了电磁能与热能两种能量形式的转换。

光速、频率、波长的关系： \(c=f\lambda\)

本章讨论由于热的原因产生的波长位于 0.1 ～ 100μm 间的热辐射.

物体对热辐射的吸收、反射和穿透¶

三者之间的一般关系：热辐射在物体表面会发生三种：吸收、反射和穿透

• 对于大多数的固体（不含透明体）和液: 辐射只在表面进行
  
  不会穿透
• 对于二氧化碳、水蒸气等气体: 辐射在这个气体容积中进行
  
  不会反射

黑体¶

• 可以全部吸收投射到其表面上的所有波长的辐射能的物体称为黑体
  
  小孔的孔径越小 \(\alpha\) 越大

黑体辐射的基本定律¶

斯忒藩- 玻尔兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律¶

• 单位时间内黑体单位表面积向半球空间发射的所有波长的能量总和称为辐射力，记为 E，单位：\(W/m^2\)
  

  \[ E_{\mathrm{b}}=\sigma T^{4}=C_{0}\left(\frac{T}{100}\right)^{4} \]

• \(\sigma\text{称为黑体辐射常数,其值为5.67}\times10^{-8}\mathrm{~W/(m^2\bullet K)}\)
  随着温度的升高，辐射力随着温度急剧增加
  针对的是所有方向的所有波长

普朗克 (Planck) 定律¶

• 光谱辐射力：单位时间内单位表面积向其上的半球空间的所有方向辐射出去的在包含波长 \(\lambda\) 在内的单位波长内的能量称为该波长的光谱辐射力。（也就是不同的波长对应的辐射力）
  记为 \(E_{b \lambda}\), 单位为：\(\mathrm{(W/m^{2}\mu m,W/m^{2}~m,W/m^{3})}\)
  后面×的 m 标识单位波长的意思

• 公式：

  \[ E_{b\lambda}=\frac{C_1}{\lambda^5\left(e^{\frac{C_2}{\lambda T}}-1\right)} \]

  其中的 \(c_1、c_2\) 是常数
  \(C_1 = 2\pi h c_0^2 = 3.7418 \times 10^8 \, {W·\mu m}^4/{m}^2\)（第一辐射常数），\(C_2 = \frac{h c_0}{k} = 14388 \, {\mu m·K}\)（第二辐射常数）。
  此时的波长直接带入微米单位下的即可

• 维恩位移定律：
  
  同一温度下，黑体的光谱辐射力随着波长的增加先增大后减小。
  一定温度下的最大的光谱辐射的波长和温度之间的关系是： \(\lambda_\mathrm{m}T=2.8976\times10^{-3}\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\approx2.9\times10^{-3}\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\)
  乘积的关系

• 则光谱辐射力与辐射力的关系：

  \[ E_{\mathrm{b}}=\int_{0}^{\infty}E_{\mathrm{b}\lambda}\mathrm{d}\lambda=\int_{0}^{\infty}\frac{c_{1}\lambda^{-5}}{e^{c_{2}/(\lambda T)}-1}\mathrm{d}\lambda \]

积分的关系（光谱辐射力关于波长进行定积分）

• 黑体辐射函数：

  \[ F_{\mathrm{b}(0-\lambda)}=\frac{\int_{0}^{\lambda}E_{\mathrm{b}\lambda}\mathrm{d}\lambda}{\sigma T^{4}}=\int_{0}^{\lambda}\frac{C_{1}\left(\lambda T\right)^{-5}}{e^{c_{2}/(\lambda T)}-1}\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}(\lambda T)=f(\lambda T) \]

  表示在 0~\(\lambda\) 的范围内的辐射力占总的辐射力的比
  只与温度波长乘积有关（可以查表得出值）

• 在任意的波段内的函数是：（作差将积分区间变为区段就行）
  

  \[ E_{\mathrm{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})}=F_{\mathrm{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})}E_{\mathrm{b}}=\left(F_{\mathrm{b}(0-\lambda_{2})}-F_{\mathrm{b}(0-\lambda_{1})}\right)E_{\mathrm{b}} \]

兰贝特定律 (Lambert) 定律¶

给出了黑体辐射能按空间方向的分布规律。

• 立体角：

  \[ \mathrm { d } \Omega = \frac { \mathrm { d } A _ { \mathrm { c } } } { r ^{2} } \Omega = \frac { A _ { \mathrm { c } } } { r ^{2} } \]

  单位称为空间度，记为 SR。
  使用面积除以半径的平方，相当于平面角
  
  使用面积相等的关系：\(dA_{c}=rd\theta•r\sin\phi d\phi\)，得到立体角和经纬度角的关系：

  \[ d\Omega=d\theta\sin\phi d\phi \]

• 定向辐射强度
  从黑体单位可见面积发射出去的落到空间任意方向的单位立体角中的能量，称为定向辐射强度

  \[ I = \frac { d \Phi ( \theta ) } { d \Omega \bullet d A \cos \theta } \]

  所以单位的可见面积上对应的辐射能量是相等的
  
  研究黑体辐射在空间不同方向的分布只要查明辐射能按不同纬度角\(\theta\) 分布。（维度角就是与 z 轴的夹角）

• 实际的能量是不均匀的，这是因为不同位置的可见面积是不同的，但是同样的可见面积下是相同的

兰贝特定律¶

• 表述：
  1. 黑体的定向辐射强度是个常量, 与空间方向无关。表述方式
  2. 黑体单位面积辐射出去的能量在空间的不同方向分布是不均匀的, 按空间纬度角的余弦规律变化。

兰贝特定律与斯芯藩 - 玻尔兹曼定律间的关系¶

对于服从兰贝特定律的辐射有：
对这个半球辐射进行积分：

上述的公式表示单位面积物体的辐射力与定向辐射强度（也是建立在单位面积上的）的关系

固体与液体的辐射特性¶

• 实际物体的辐射特性在与黑体的特性进行对比的基础上进行。气体的辐射与吸收特具有容积特性，本节介绍辐射仅在表面进行的固液物体。

实际物体的辐射力¶

• 物体的辐射力 \(E\) 总是小于同温度下黑体的辐射力，两者之比 \(\varepsilon=\frac{E}{E_{b}}\) 称为发射率（黑度），一般通过实验测定
• \(E=\varepsilon E_{\mathrm{b}}=\varepsilon \sigma T^{4}=\varepsilon C_{0}\left(\frac{T}{100}\right)^{4}\) （也称为四次方定律）
  所以能不能引入一个系数

实际物体的光谱辐射力¶

• 实际物体的光谱辐射力随波长作不规则的变化、定性上与普朗克定律一致;
• 

• 可见，实际物体要引入系数的话是随着波长变化的，可以由上面的图像进行简化，所以可以引入灰体（光谱发射率与波长无关）进行简化

  \[ \text{光谱发射率} \; \varepsilon ( \lambda ) = \frac { E _ { \lambda } } { E _ { \mathrm { b } \lambda } } \longrightarrow \varepsilon = \frac { E } { E _ { \mathrm { b } } } = \frac { \int _ { 0 } ^{\infty} \varepsilon ( \lambda ) \, E _ { \mathrm { b } \lambda } \, \mathrm { d } \lambda } { \sigma T ^{4} } \]

  箭头的左侧为实际的物体，系数随着 \(\lambda\) 变化，右侧是理想的灰体，认为光谱发射率不随波长变化

在工程计算中仍认为一般实际物体的辐射力与热力学温度的四次方成正比，由此引起的修正包括到发射率中去。

实际物体的定向辐射强度¶

• 定向发射率：

  \[ \varepsilon\left(\theta\right)=\frac{I\left(\theta\right)}{I_{\mathrm{b}}\left(\theta\right)}=\frac{I\left(\theta\right)}{I_{\mathrm{b}}} \]

• 漫射体：定向发射率与角度无关的理想化的物体（发射率等于定向发射率）

• 漫射灰体：发射率与角度和波长都无关的理想化物体（发射率=定向发射率=光谱发射率）

• 发射率与定向辐射发射率之间的关系：

  \[ \varepsilon = \frac { E } { E _ { \mathrm { b } } } = \frac { I _ { \mathrm { b } } \int _ { \Omega = 2 \pi } \varepsilon ( \theta ) \cos \theta \mathrm { d } \Omega } { \pi I _ { \mathrm { b } } } = \frac { \int _ { \Omega = 2 \pi } \varepsilon ( \theta ) \cos \theta \mathrm { d } \Omega } { \pi } \]

• 无论金属还是非金属，在半球空间的大部分范围内，定向发射率基本是个常数，故可近似地认为

  \[ \mathcal{E}=M\mathcal{E}_{n}\left(\mathcal{E}_{n}\text{法向定向发射率}\right) \]

金属表面 \(M=1.0\sim1.3\) (高度磨光的表面取上限)
对非导体 \(M=0.95\sim1.0\) (粗糙表面取上限)
除高度磨光表面外，工一般取 \(M \approx 1.0\) 。
今后讨论都将物体当作为漫射体处理。

透明体玻璃¶

• 同样有吸收、反射、穿透三种途径:
• \(\alpha \ + \ \rho \ + \ \tau \ = 1\) 窗户用大约 3 mm 厚的玻璃: 对投入的太阳光反射比大约为 8%; 吸收比为 6%; 穿透比约为 86%。
• 玻璃自身的发射比一般约为 0.8

气体辐射特性的计算¶

气体对辐射主要是吸收和穿透

• 单原子气体和分子结构对称的双原子气体，如空气、氢、氧等并无发射和吸收辐射能的能力，是热辐射的透明体。
• 三原子、多原子气体（二氧化碳等）以及结构不对称的双原子气体（一氧化碳）具有相当大的热辐射本领。（温室效应）

特点¶

• 气体辐射和吸收对波长有选择性（只在某些光带内存在辐射和吸收）
  • 在某些波长区段内具有辐射能力将吸收能力，这种有辐射能力的波长区段称为光带
  • 在光带以外，对热辐射为透明体
    在 8 微米到 13 微米的波段内大气高度透明（大气中臭氧含量很低），称为大气窗口，为辐射制冷创造了客观的条件
    
• 辐射和吸收是在整个容积中进行的
  气体的辐射和吸收是在整个容积中进行的，与气体所处容器的形状和容积有关。

光谱辐射能在气层中的定向传递¶

随着射线行程的增加，辐射强度减小，衰减按照如下的规律

• 贝尔定律：

  \[ \longrightarrow I_{\lambda,L}/I_{\lambda,0}=e^{-k_{\lambda}L} \]

• 吸收比：

  \[ \tau(\lambda,L)=e^{-k_{\lambda}L} \]

这是某个特定波长的辐射能在某个特定方向上在气体中的传递过程，工程计算确定气体在所有光带范围内辐射能的总和。

平均射线程长的计算¶

• 由于气体容积辐射的特点，辐射力与射线行程的长度（射线程长）有关，后者取决于气体容积的形状和尺寸。
  只有半球气体容积对球心 \(dA\) 的辐射，各个方向上的射线程长都是一样的，即半径。
  于是采用当量半球的半径作为平均射线程长: 当量半球是指半球内的气体具有与所研究的情况相同的温度、压力和成分时, 该半球内气体对球心的辐射力等于所研究情况下气体对指定地点的辐射力。
  

作业：8-22,23

实际物体对辐射能的吸收与辐射的关系¶

实际物体的吸收比¶

• 单位时间内投入到物体单位表面积上的辐射能称为投入辐射
• 物体吸收投入辐射的百分数称为吸收比（总的、平均的概念，与物体本身和投入辐射都有关）。为深入研究要引进光谱吸收比。
• 光谱吸收比：\(\alpha(\lambda)\)：物体吸收某一特定波长辐射能的百分数称为光谱吸收比，一般与波长有关；（概念与光谱发射率相似）
  光谱吸收比只取决于自身
  
  
  非导体的光谱吸收率要大很多

• 总吸收比和光谱吸收比的关系：

  \[ \begin{aligned}\alpha_{1}&=\frac{\int_{0}^{\infty}\alpha(\lambda,T_{1})\varepsilon(\lambda,T_{2})E_{\mathrm{b\lambda}}(T_{2})\mathrm{d}\lambda}{\int_{0}^{\infty}\varepsilon(\lambda,T_{2})E_{\mathrm{b\lambda}}(T_{2})\mathrm{d}\lambda}\\&=f(T_{1},T_{2},\text{表面 1 的性质},\text{表面 2 的性质})\end{aligned} \]

  注意下面的角标，表面 1 代表吸收的物体表面，2 代表发射的物体表面。

• 但是这个公式较为复杂，假设投入的辐射来自于黑体：

  \[ \begin{gathered}\alpha=\frac{\int_{0}^{\infty}\alpha\left(\lambda,T_{1}\right)E_{\mathrm{b}\lambda}\left(T_{2}\right)\mathrm{d}\lambda}{\int_{2}^{\infty}E_{\mathrm{b}\lambda}\left(T_{2}\right)\mathrm{d}\lambda}\\=\frac{\int_0^\infty\alpha\left(\lambda,T_1\right)E_{\mathrm{b}\lambda}\left(T_2\right)\mathrm{d}\lambda}{\sigma T_2^4}\\=f(\begin{array}{c}T_1,T_2,\text{表面 }1\text{ 的性质 })\end{array}\end{gathered} \]

• 此时的吸收比与投入辐射的温度有很大的关系，还是比较复杂的，不是一个物性。所以进一步引入灰体

灰体概念与工程应用¶

• 灰体：光谱吸收比与波长无关的物体
  工程计算而言, 只要在所研究的波长范围内光谱吸收比基本上与波长无关, 灰体的假定即可成立, 在工程常见的温度范围（≤2000 K）内, 许多工程材料都具有这个特点。
• 有两种处理的方法：
  • 灰体法：
  • 谱带分析法：

吸收比与发射率的关系¶

• 基尔霍夫 (Kirchhoff) 定律
  
  得出与黑体处于辐射热平衡时任意物体对黑体投入辐射的吸收比等于同温度下该物体的发射比。
  前提：
  • 热平衡时（两个表面的温度相等，温度不变）
  • 对黑体的投入辐射的吸收比

• 漫射灰体：对于漫灰表面一定有 \(\mathcal{E}=\alpha\)
  任意的漫射灰体都存在这样的性质（无论是否是黑体，是否是热平衡）

基尔霍夫定律三个层次的表达式：

• 一般的物体都可以近似看做漫灰体，其吸收比等于发射比
• 但是对于物体受到太阳辐射时，不能看做漫灰体

太阳与环境辐射¶

太阳常数¶

大气层外缘水平面上每单位面积接受到的太阳投入辐射：

\(f\) 为日地距离的修正系数，其值为 \(0.97 \sim 1.03\)。

按此估算照射到地球上的太阳能量为:

照射到地球的太阳能相当于每秒钟燃烧 600 万吨标准煤（发热值是 \(29.3 \times 10^{6} J\)）所发出的热量，这是地球上各种能量的来源！

太阳能穿过大气时的削弱¶

• 两种削弱作用
  • 第一是包含在大气层中的具有部分吸收能力的气体的吸收，如臭氧、水蒸气、二氧化碳、各种 CFC 气体等；
  • 第二种减弱作用称为散射（对太阳投入辐射的重新辐射），分为分子散射（Rayleigh 散射）与米（Mie）散射两种。
    
    米氏辐射是沿着太阳光的方向的，另一个是各向均匀的

环境辐射¶

环境辐射是指地球及大气层中某些具有辐射能力成分的辐射。

1. 地球表面的辐射：

1. 大气层的辐射：

   \[ G _ { \mathrm { a t m } } = \sigma T _ { \mathrm { s k y } } ^{4} \]

   \(T_{s k y}\) 称为等效的天空温度，其值与天气条件有关：寒冷、晴朗的天空可低估 230 K，而暖和有雾的天空可以高到 285 K。

2. 冬天晴朗的夜晚，天空有效温度较低，地球表面向天空的辐射散热增加，形成辐射制冷现象。

作业：8-28,29

例题¶

黑体辐射¶

兰贝特定理¶

实际物体¶

辐射传热的计算¶

辐射传热的角系数¶

角系数的定义和推论¶

一个表面发出而落到另一个表面上的辐射能的百分数随表面的相对位置而异，从而影响两者间的辐射传热量。

• 
• 离开表面 1 的辐射能中落到表面 2 的百分数称为表面 1 对表面 2 的角系数，记为 \(X_{1,2}\)；

角系数的性质¶

角系数的相对性

• 对微元的表面：

  \[ X _ { d 1 , d 2 } = \frac { d _ { 1 } \text{发出落到微元表面} d _ { 2 } \text{上的部分} } { \text{微元表面} d _ { 1 } \text{发出的总辐射能} } \]

  

• 可以得到角系数的计算式为：

  \[ X_{\mathrm{d}2, \mathrm{d}1}=\frac{\mathrm{d} A_{1} \cos \theta_{1} \cos \theta_{2}}{\pi r^{2}} \]
  • 可得：\(X_{d1, \mathrm{d}2} \bullet d A_{1}=X_{d2, \mathrm{d}1} \bullet d A_{2}\)
    这里的角度是面的法线与两者连线的夹角

  ---

  角系数的完整性

• 对于封闭的系统，由能量守恒可得：
  一个表面对含自己的所有表面的角系数和为 1

  \[ \sum _ { j = 1 } ^{n} X _ { i , j } = 1 \]

• 完整性
  若表面 I 为非凹表面, \(X_{i, i}=0\) 。
  若为凹表面的话不等于 0
  

角系数的可加性：

• \(X_{1,(2a+2b)}=X_{1,2a}+X_{1,2b}\)
• 
• 1 对 2 的角系数等于对 2 两部分角系数的和
• 任意部分都是成立的

角系数的计算¶

1. 直接积分法：利用公式直接积分，查图像
2. 代数分析：使用上述的三种性质计算

• 直接积分法：

  \[ X_{d1,d2}=\frac{\mathrm{d}A_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\pi r^{2}}\xrightarrow{\text{对}A_{2}\text{做积分}}X_{\mathrm{d1},2}=\int_{A_{2}}\frac{\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}\mathrm{d}A_{2}}{\pi r^{2}} \]
  \[ \longrightarrow A_{1}X_{1,2}=\int_{A_{1}}\left(\int_{A_{2}}\frac{\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}\mathrm{d}A_{2}}{\pi r^{2}}\right)\mathrm{d}A_{1} \]
  \[ \longrightarrow X_{1,2}=\frac{1}{A_{1}}\int_{A_{1}}\int_{A_{2}}\frac{\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\mathrm{d}A_{1}\mathrm{d}A_{2}}{\pi r^{2}}=\frac{1}{A_{1}}\int_{A_{1}}\int_{A_{2}}X_{d1,d2}\mathrm{d}A_{1} \]

• 将两个面积微元进行积分，变成了四重积分
  一些简单的两个面之间的角系数可以通过查表 9-1 这些得到
  还有很多的常见的结构之间的角系数

代数分析法：

1. 两块很接近的很大的平行平板：
   两者对对方的角系数都是 1
2. 一个非凹表面（1）被另一个凹表面（2）包围：
   \(X_{2,1}=\frac{A_1}{A_2}\)
   这是因为 \(X_{1,2}=1\)（再使用相对性的公式）

3. 三个平凸表面组成的封闭腔：
   
   
   最后可以联立得出计算公式：

   \[ X _ { 1 , 2 } = \frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } - A _ { 3 } } { 2 A _ { 1 } } \]

   类似的，可以得到其余的 5 个计算公式

   • 当有一个或者多个的凹表面时
     可以添加虚拟的平面（以凹表面为端点的平面），利用第二个方法计算
     添加的辅助的面能使得能量的分布发生变化
   • 交叉线法：垂直于纸面的方向上无限长，作辅助线
     
     
   \[ X_{A_{1},A_{2}}=\frac{交叉线长度之和-不交叉线长度之和}{2\times A_{1}的断面长度} \]
   • 具体来说就是先对四边形利用完整性
   • 之后分别建立两个三边的，计算其中的未知数（利用 3 中的结论）
   • 两个凹表面的角系数的计算（使用张弦法）

9-3，6

两表面封闭系统的辐射传热¶

本节所讨论固体表面间不存在参与热辐射介质的情形。
辐射传热不同于导热和对流，辐射传热可以发生在两个被真空或者是透热介质（不参与热辐射）隔开的表面之间

封闭腔模型及两黑体表面组成的封闭腔¶

辐射传热的假设：

• 封闭腔：计算对象必须是包含所研究表面在内的一个封闭腔，其表面可以全部是物理上真实的，也可以部分是虚构的。
• 稳态换热：
• 参与辐射换热的表面为漫射灰体或黑体表面：
• 固体表面间的间隙介质不参与热辐射

1. 两个黑体表面组成的封闭腔：
   
   两个黑体表面之间的净辐射换热量为：

   \[ \Phi_{1,2}=A_{1}E_{\mathrm{bl}}X_{1,2}-A_{2}E_{\mathrm{b2}}X_{2,1}=A_{1}X_{1,2}\left(E_{\mathrm{bl}}-E_{\mathrm{b2}}\right)=A_{2}X_{2,1}\left(E_{\mathrm{bl}}-E_{\mathrm{b2}}\right) \]

可以变形为：\(\Phi_{1,2}=\frac{E_{b1}-E_{b2}}{\frac{1}{A_1X_{1,2}}}\)，变为热阻的形式
可见，黑体是比较简单的，只要计算角系数就可以

黑体系统辐射传热计算比较简单，因其自身的辐射就是对外的总辐射；
对灰体系统因为吸收比小于 1 对投入到灰体表面上的辐射能要经过多次吸收与反射；
灰体表面向外发射出去的辐射能包括自身辐射及反射辐射在内。

有效辐射¶

• 有效辐射：有效辐射是指单位时间内离开表面单位面积的总辐射能，记为 \(J\)。
• 投入辐射：单位时间内投入到固体单位表面积上的总辐射能称为该表面的投入辐射，记为 \(G\): （并不是吸收掉的辐射）
  
  \(J_{1}{=}\varepsilon_{1}E_{b1}+(1{-}\alpha_{1})G_{1}\)
  有效辐射一部分是自身辐射，一部分是反射投入辐射的（对于黑体来说，有效辐射=自身辐射：\(J=E_b\)）
  对于漫射灰体来说，吸收率=发射率
  • 在表面外能感受到的就是有效辐射

有效辐射与辐射传热量的关系

• 图示：

• 由图中的两个截面（a-a, b-b）列式子，联立：\(q_{1}=J_{1}-G_{1}\)（表示换热量=有效辐射-投入辐射）（认为放热为正时）

  \[ J{=}E_{\mathrm{b}}+(1-\frac{1}{\varepsilon})q \]

这里指的都是一个表面上的性质（同一个表面的有效辐射和辐射传热量）（是漫灰体）

两个漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热¶

直接将黑体辐射传热的 \(E_b\) 变为有效辐射 \(J\)，得到最后的是：（\(J\) 公式中的 \(q\) 就是这里的 \(\Phi\)）

相对于黑体而言加了左右的分别和表面 1、2 相关的两项（左右的两项叫表面辐射热度，中间的项是空间辐射热度）

以 \(A_1\) 作为计算面积时，上述式子变为：

其中的 \(\varepsilon_s\) 为系统发射率（系统黑度）

考虑灰体系统各表面发射比小于 1 引起的多次吸收与反射对换热量影响的因子。

• 四种简化情形：

  • 都为黑体时：\(\varepsilon_s=X_{1,2}\)
  • 当表面 1 为非凹面时，
  \[ \Phi_{1,2}=\frac{A_{1}\left(E_{\mathrm{bl}}-E_{\mathrm{b2}}\right)}{\frac{1}{\varepsilon_{1}}+\frac{A_{1}}{A_{2}}\left(\frac{1}{\varepsilon_{2}}-1\right)} \]

  • 表面 1 为非凹面且两者面积相等时：

    $$ \phi_{1,2}=\frac{A_{1}\left(E_{\mathrm{bl}}-E_{\mathrm{b2}}\right)}{\frac{1}{\varepsilon_{1}}+\frac{1}{\varepsilon_{2}}-1} $$ 比如两个无限大的平板之间！

  • 表面 1 非凹面，但是表面 1 面积远小于 2
    比如大房间里面的小物体（高温管道），系统黑度就是小物体的发射率 $$ \Phi_{1,2}=\varepsilon_{1}A_{1}(E_{b1}-E_{b2}) $$

9-23，30，33

多表面的辐射换热量¶

两表面传热系统的辐射网络¶

• 表面的净传热量为（就是单个面自身的热量的变化）：

  \[ \phi=\frac{E_{\mathrm{b}}-J}{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon A}} \]

• 两个表面组成的封闭系统（两个表面之间传递的热量）：

  \[ \Rightarrow\Phi_{1,2}=\frac{J_{1}-J_{2}}{\frac{1}{A_{1}X_{1,2}}} \]

  

• 前者是单个表面，\(E_b\) 相当于电源，\(J\) 相当于节点电压，对于单个表面中间的热阻相当于电源的内阻（黑体为 0）
• 每个热表面都是一个电源，电源的有效电压就是有效辐射 \(J\)
• 不同的面之间有空间热阻（当角系数为 0 时，热阻为无穷，相当于两者之间不传热）
• 

  • 所以两个表面的等效网络就是电阻的串联

    \[ \phi=\frac{E_{\mathrm{bl}}-E_{\mathrm{b2}}}{\frac{1-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}A_{1}}+\frac{1}{A_{1}X_{1,2}}+\frac{1-\varepsilon_{2}}{A_{2}\varepsilon_{2}}} \]

特殊情形¶

1. 一个表面是黑体：\(J_3=E_{b3}\)
   
   此时相当于内阻为 0，节点的电势直接等于原电势（是由黑体性质决定的），相当于直接外加一个电源
2. 有一个表面为绝热，\(q=0\)
   
   此时是电流直接为 0 了，相当于没有这小段电路了，此时该点的电势由另外两个表面决定
   
   该表面叫做重辐射表面（表面温度未定，但是净辐射量为 0）
   表面具有两重性：
   • 温度上看可以视作某个温度下的黑体
   • 能量上看：可当做反射率为 1 的表面

有气体参与的辐射的计算¶

气体辐射是在整个体积上的，稍微学一下
作业：9- 39,43

辐射传热的控制（强化与削弱）¶

控制表面间辐射传热的方法¶

• 表面辐射热阻
  \((1-\varepsilon)/A\varepsilon\)，调整表面的发射率
  服饰的颜色、保温杯内部镀银
• 空间辐射热阻
  改变表面角系数
  利用遮热板

遮热板的原理及其应用¶

• 遮热板是指插入两个辐射传热表面之间用以削弱辐射传热的薄板。

分析：
设平板和金属薄板都是灰体，\(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3\)，温度为 \(T 1, T 2, T 3\)

多了一个空间热阻和两个表面热阻

• 在发射率为 0.8 的两个平行表面之间插入一块发射率为 0.05 的遮热板，可使辐射热量减小到原来的 1/27。
• n 块发射率相同的遮热板：等效发射率为原来的 \(\frac{1}{n+1}\)
• 遮热板等效于降低表面发射率
• 可以采用发射率低的或者多层的遮热板

• 应用：
  1. 汽轮机中用于减少内、外套管间辐射传热
  2. 用于储存液态气体的容器的保温
  3. 用于超级隔热油管
  4. 遮热板用于提高温度测量的准确度

综合传热问题分析¶

测定炉膛的简易方法¶

热电偶测量气体的温度¶

热接点温度 \(t_1\)，气流温度 \(t_f\)，流道内壁温度 \(t_w\)，热接点与气流间的对流传热系数 h，其表面的发射比 \(\varepsilon_1\)
热平衡的方程：
对流换热（与气体）=导热+辐射换热量（壁面）
但是热电偶的导热很少，所以对流换热=辐射换热
辐射换热相当于小物体放到大空间的情况
在 \(t_1=792^\circ\mathbb{C},t_w=600^\circ\mathbb{C},h=58.2\mathbb{W}/\mathfrak{m}^2\bullet\mathbb{C},\varepsilon_1=0.3\) 的条件下 , 计算得出 \(t_f= 998. 2°\) C \(, ( t_f- t_1)\) 就是测温误差，高达 \(206.2°C\)。
误差的来源就是电偶还要向外辐射，导致平衡之后的温度效率很多

为了减小误差，就要减小辐射（加上一层遮热罩）

1. 热电偶与遮热罩内壁（其温度记为\(t_s\)）有辐射传热，记为\(q_{r, tc}\)
2. 热电偶与气流间有对流传热，\(q_{cv, tc}\)
3. 遮热罩与壁面有辐射传热，\(q_{r, rs}\)
4. 遮热罩与气流有对流传热，\(q_{cv, rs}\)
5. \(q_{r,tc}=q_{cv,tc};\quad q_{r,\mathbf{rs}}=2q_{cv,\mathbf{rs}}\)

带入解得误差减小到 5%一下

辐射换热系数¶

将辐射换热量表示为牛顿冷却公式的形式：\(\Phi_r=Ah_r\Delta t\)

例题¶

两个封闭表面之间¶

多表面计算¶

传热过程分析与换热器的热计算¶

传热过程的分析和计算¶

• 传热过程：
  热量从壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程
• 传热方程式：\(\Phi=k\cdot A\cdot\Delta t_{\mathfrak{m}}\)
  主要是计算传热系数 \(k\)：对流和导热相关
  还有平均温差：对数平均温差和算术平均温差（平均温度的确定）
• 分析：
  使用的是流体温度（热量由一侧流体——>壁面——>另一侧的流体，所以使用两端已知的温度）

通过光滑壁面的传热过程¶

1. 通过平壁面
   

1. 通过圆筒壁：
   
   
   以管外的直径表示的公式：

   \[ \Phi=\frac{\pi d_\mathrm{o}l(t_\mathrm{fi}-t_\mathrm{fo})}{\frac{1}{h_\mathrm{i}}\frac{d_\mathrm{o}}{d_\mathrm{i}}+\frac{d_\mathrm{o}}{2\lambda}\ln\left(\frac{d_\mathrm{o}}{d_\mathrm{i}}\right)+\frac{1}{h_\mathrm{o}}} \]

   
   以内径表示的换热量：

原始的公式为：

其中的角标为 i 的是内部的参数，角标为 o 的是管外的参数
表示从管内流体到管外流体的传热量

通过肋壁的传热过程¶

外侧——肋面的传热量为：

后面是肋面的总效率
得到的总的换热量是：

定义肋化系数：\(\beta=A_{\circ}/A_{\mathrm{i}}\)
则传热系数为：\(k=\frac{1}{\frac{1}{h_{\mathrm{i}}}+\frac{\delta}{\lambda}+\frac{1}{h_{\circ}\eta_{\circ}\beta}}\)
所以只要 \(\eta_{\circ}\beta>1\) 就可以强化传热

10-4,5

带保温层的圆管绝热——临界热绝缘直径¶

在管子之外包一层材料，热阻是变大还是变小了？

1. 导热热阻变大
2. 但是面积增大，外侧对流热阻减小

热绝缘层的导热热阻和与外界的对流热阻最小时，散热最大，外层的直径极值为毕渥数为 2 时，下面的公式表示加上一层之后单位长度的散热量，求导，使得散热量最大

换热器¶

分类¶

• 定义：
  用来使热量从热流体传递到冷流体，以满足规定的技术工艺要求的装置

• 分类：

  1. 紧凑度、工作方式、加工方式、工作介质、有无相变……
     按紧凑分类为：水力直径（流动截面积的四倍除以湿周长）进行分类，\(\beta\geq700\mathrm{m}^{2}/m^{3}\text{或者}d\leq6\mathrm{m}\mathrm{m}\) 为紧凑型的（如下面的图像）
  2. 并不严格
  3. 顺流、逆流的换热器等等
     
     
     按照工作方式进行分类的结果

• 混合式换热器：直接接触的
  

• 蓄热式换热器：
  
  冷热流体交替通过蓄热体（比如先加热后冷却蓄热体，进行热交换）
• 间壁式换热器：应用最广泛的
  
  冷热流体使用间壁隔开，互不接触
  1. 套管式（在管道上套上有其余流体的管道）（就是上面的图像），有顺流和逆流的方式（逆流的效果更好）
  2. 管壳式：最主要的一种
     最主要的一种间壁式换热器，传热面由管束组成，管子两端固定在管板上，管束与管板再封装在外壳内。两种流体分别走管程和壳程。
     
     
     
     中间有一个折流板，使得流体沿着曲线流动
     上面这个图是 1-2 型的（1 表示壳程数、2 表示管程数）
     流进管子，再流出，为管程（上面的冷流体，走一个来回，所以是 2 管程）
     流进管子和壳体之间的部分，路径为壳程（上面的热流体）
     

换热器中传热过程的平均温差计算¶

简单顺、逆流换热器的平均温差计算¶

先以顺流进行分析：

为了简化，做下面的假设：

• 冷热流体的质量流量\(q_{m2}、q_{m1}\)以及比热容\(c_2、c_1\)是常数；
• 总传热系数k是常数；
• 换热器无散热损失；
• 换热面沿流动方向的导热量可以忽略不计（也就是没有同种流体之间的对流换热）。

取 x 处的微元进行分析

分母温度为入口段的温差
分子为任意 x 位置处的温差
面积为 x 处的总的面积

最后得到的计算公式为（得到的就是任意）

使用进出口温差表示为：

这个就是对数平均温差
是最重要的公式
这节就是将 \(\Phi=kA\Delta t_{\mathrm{m}}\) 公式中的平均温差项算出来了
前一节计算的是 \(k\)，所以都能计算了
进口处是 '，出口处为''

虽然公式的推导是根据同向流动的，但是，这个公式的适用范围是比较广的
只不过计算所需要的两个温度差的表达式不同

对于逆流的简单换热器来说：（进出口温差的表达式不一样了） ，总的来说就是同一端减去同一端的。

之后就是大的减去小的，大的除以小的即可

\(\Delta t_{max}\) ：同侧温差的最大值
就是同侧流体的温差最大值减去同侧流体中温差的最小值

10-9,12

上述的是对数平均温差，对于简单的算术平均误差来说：

算术平均温差总是大于同样的进出口温度下的对数平均温差
当 \(\Delta t_{\max}/\Delta t_{\min}\leq2\) 时，两个温差之间的误差小于 4%
温度曲线：
由 \(q=cm\Delta t\) 得到下面的温度曲线：

• 顺流：\(q_{\mathrm{ml}}c_{1}>q_{\mathrm{m2}}c_{2}\)
  因为 1 的比热容流量小

其他复杂流动布置时平均温差的计算¶

就是不是简单的顺逆流，而是介于两者之间的情况

• 原则：首先看成是逆流换热器，然后修正

  \[ \Delta t_{\mathfrak{m}}=\psi(\Delta t_{\mathfrak{m}})_{\mathfrak{ctf}} \]

\((\Delta t_{\mathfrak{m}})_{\mathfrak{ctf}}\) 是将给定的冷热流体的进出口温度布置成逆流时的温差
\(\psi\) 是小于1的修正系数

1. \(\psi\) 取决于无量纲参数 P 和 R：
   \(P=\frac{t_2^{\prime\prime}-t_2^{\prime}}{t_1^{\prime}-t_2^{\prime}},\quad R=\frac{t_1^{\prime}-t_1^{\prime\prime}}{t_2^{\prime\prime}-t_2^{\prime}}\)
   2. \(P\) 的物理意义
   流体 2 的实际温升与理论上所能达到的最大温升之比
   3. \(R\) 的物理意义
   \(R=\frac{t_{1}^{\prime}-t_{1}^{\prime\prime}}{t_{2}^{\prime\prime}-t_{2}^{\prime}}=\frac{q_{m2}c_{2}}{q_{m1}c_{1}}\)
   两种流体的热容量 / 水当量之比
   冷流体的热容量除以冷流体的热容量
2. 对于管壳式换热器：注意壳程和管程
3. 对于交叉式换热器：应注意混合与否

说明¶

顺流和逆流：

1. 顺流和逆流是两种极端情况：
   在相同的进出口温度下，逆流的平均温差最大，顺流的平均温差最小。
2. 温度关系与换热强度：
   顺流时 \(t_2^{''} < t_1^{''}\)；而逆流时，\(t_2^{''}\) 则可能大于 \(t_1^{''}\)。
   可见，逆流布置时的换热最强。
3. 温度分布特点：
   逆流时，冷热流体的最高温度集中在换热器的同一侧。
   所以说会造成局部温度过高

但是当一种流体发生相变时

顺逆流的平均温差一样了

间壁式换热器热设计¶

设计依据¶

• 传热方程式：

• 热量守恒方程式：

所以有下面的变量：

7 个独立变量，2 个独立方程；所以需要知道其中的 5 个未知量，就能求出剩下的未知量

换热器热计算的平均温差法¶

1. 设计计算：
   给定冷热流体的水当量（\(q_ic_i\)）和进出口温度中的三个，计算确定换热面积 \(A\)
   1. 初步布置换热面，计算出相应的总传热系数 \(K\) (需要定性温度（要确定一些决定对流换热系数的物性），一般取进出口流体的平均温度)
   2. 使用热平衡的方程式计算出进出口温度中的未知的温度（然后就能确定定性温度了）
   3. 由进出口的温度确定平均温差：\(\Delta t_{\mathrm{m}}=\psi(\Delta t_{\mathrm{m}})_{\mathrm{ctf}}\)
   4. 计算所需要的换热面积 A：\(A=\frac{\phi}{k\cdot\Delta t_{\mathfrak{m}}}\)
   5. 核算冷热流体的流动阻力，如过大则需要改变方案重新设计
2. 校核计算
   换热器的结构、面积、冷热流体的进口温度和水当量
   校核的是出口的温度是否能够满足要求（由于只知道两个温度，所以需要迭代）
   
   1. 先假设一个流体的出口温度，计算得到另一个的出口温度
   2. 计算平均温差
   3. 由换热器的结构，得到传热系数 K
   4. 按照传热方程求出传热量 \(\Phi_1\)
   5. 按照热平衡计算得到换热量 \(\Phi_2\)
   6. 比较两个换热量，满足精度要求（2-5%）的话就结束，否则重新假定，重复上面的步骤，知道满足精度要求
      上述使用的就是平均温差法，在校核的时候需要不断迭代
      10-18

换热器热计算的效能-传热单元数法¶

• 定义：

  \[ \varepsilon=\frac{\left|t^{\prime}-t^{\prime\prime}\right|_{\max}}{t_1^{\prime}-t_2^{\prime}} \]

分子为冷流体或热流体在换热器中的进出口温差的最大值（就是取冷热流体的进出口温差中的最大值）
分母为：换热器中可能发生的最大温差（就是热流体的进口温度减去冷流体的进口温度）

所以，现在的换热量可以写成：

直接使用了两个的进口温度表示了

现在就是看怎么求出 \(\varepsilon\) 了，有如下的公式：（针对顺流的）情况

其中的 NTU 为
\(\mathrm{NTU}=\frac{kA}{\left(q_\mathrm{m}c\right)_\mathrm{min}}\)
为了便于工程计算，绘制成线算图10-47~52（这个曲线）

污垢热阻¶

热量传递过程的控制¶

确定传热过程分热阻的威尔逊图解法¶

传热系数表达式为：

污垢热阻是和对流换热系数的倒数相加的
\(\text{肋面总效率}\eta_0\)

通过下面的式子得到污垢热阻的值：

有如下的假设：

1. 工业换热器中，管内流体的流动一般都是处于旺盛湍流状态 \(h_\mathrm{i}=c_\mathrm{i}u_\mathrm{i}^{0.8}\)

   \[ \frac{1}{k_\mathrm{o}}=\frac{1}{h_\mathrm{o}}+R_\mathrm{w}+R_\mathrm{f}+\frac{1}{c_\mathrm{i}}\frac{d_\mathrm{o}}{d_\mathrm{i}}\frac{1}{u^{0.8}} \]

2. 如果能保持 \(h_o\) 不变，壁面的导热热阻\(R_w\) 不会变化，污垢热阻 \(R_f\) 在短时间内不会有大的改变

3. 则简化后的表达式为：

   \[ \frac{1}{k_0}=b+m\frac{1}{u^{0.8}} \]

可以在不同的速度下测量得到以下的图像：

运行一段时间后，重新得到类似的图像，两个图像纵轴上截距的差值就是污垢的热阻：

例题¶

换热器计算¶

效能传热单元数法¶