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导入¶

三种方式¶

热辐射：物体以发射电磁波（光子）方式传递能量（通过性）

传热方式	核心定义	传递载体与机制	关键前提
导热	热量通过物质内部分子、原子、自由电子的微观热运动（如振动、碰撞）传递，无物质宏观位移的传热过程。	载体：固体、液体、气体（均可行，但固体中最显著）机制：微观粒子的能量碰撞传递（如金属中自由电子碰撞、固体晶格振动）。	仅需 “存在温度差” 和 “传热介质”，无需介质宏观流动。
热对流	热量通过流体（液体 / 气体）的宏观流动，将流体自身的热量从高温区域带到低温区域的传热过程。	载体：仅能是流体（液体：水、油；气体：空气、烟气）机制：“流体宏观流动”+“流体内部导热”（流动的流体先通过内部导热吸热，再带着热量流动到低温区释放）。	必须满足两个条件：① 有流体介质；② 流体发生宏观流动（自然流动或强制流动）。

辨析

热传导和对流发生在物质介质中存在温差
- 导热：同室倒戈
- 对流：邻居
热辐射无所谓介质
- 太空中

名称	英文	意义	符号	单位
热能 *	Thermal Energy	与物体微观行为相关的能量（状态量）【热量 - 过程量】	U 或 u	J 或 J/kg
温度	Temperature	一种间接评估物质中热能数量的表征	T	K 或 °C
传热	Heat Transfer	因温度差引起的热能传输
热	Heat	一段时间内传输的热能数量	Q	J
热流量或传热率	Heat (transfer) Rate	单位时间内通过一给定面积的热量；单位时间传输的热能	Φ	W (J/s)
热流密度	Heat Flux	单位时间单位面积传输的热能	q	W/m²

内能（整体功力）=热能+化学能+核能等（内能包含了分子内部的能量）
分子的能量（运动的动能、势能，分子之间的结合能（化学能）、原子核内部的能量（核能））
温度决定热运动的速率，也就是动能

热传导

气体：分子平移、内部转动、振动
流体：分子间作用力更强
固体：晶格振动形式的原子活动，晶格波
非导体（晶格波）；导体（晶格波+平移的自由电子）

热传导速率¶

傅里叶定律/导热基本定律矢量方程：

\[ \vec{q}=-\lambda\nabla T \]

q：热流密度，$W/m^2$
$\lambda$ ：导热系数/热导率：$W/m·K$
$\nabla T$：温度梯度，$°C /m 或 K/m$
热量传递指向温度降低方向，与温度升高的方向相反

$\phi$：热流量：W, 单位时间内通过某一给定面积的热流量
q = $\phi/A, W/m^2$ , 热流密度

对于一维平壁稳态导热，平壁导热系数为常数：

\[ \begin{aligned} q_x &= \lambda \frac{T_1 - T_2}{L} \\ \Phi &= q_x \cdot A \end{aligned} \]

A：垂直热量传递方向的截面面积

解题的步骤

假设：
1. 一维导热问题
2. 稳态过程
3. 导热系数为常数
列式子计算

热对流速率¶

模式：
- 随机的分子运动，传输能量
- 流体整体或者说宏观运动（平流）传输能量
分子随机运动与流体整体运动所导致的能量传输的叠加

牛顿冷却公式：

\[ q=h(T_w-T_f) \]

$h$: 表面传热系数/对流换热系数, ($W/m^2 . K$)，与边界层中条件相关
$T_w和T_f$ 分别为壁面温度和流体温度
面积 A 为与流体接触的壁面的面积
表面对流换热速度边界层和热力边界层的关系：

基本特点

流动方式：强制对流>自然对流
介质：液体大于气体
按照有无相变：有相变>无相变

辐射传热速率¶

辐射：气固交界面的传热包括表面辐射、对周围环境投射的吸收(辐照密度 G) 以及对流 $if 𝑇_𝑠 ≠ 𝑇_∞$
物体会因为热产生热辐射，同时也在不断吸收其他物体的热辐射，热辐射传热量为 0 时是动态平衡
辐射传热的过程中伴随着能量的转移和能量形式的转换
热力学能——>电磁能——>物体热力学能

辐射向外传递的能量（单位面积）：

\[ E=\varepsilon E_{b}=\varepsilon\sigma T_{s}^{4} \]

解释

$E$：发射功率, W/m 2
$\varepsilon$：物体表面发射率, (0,1)；俗称黑度，与物体的种类、表面状况、温度有关
$Eb$：黑体发射功率, W/m 2 ;
$\sigma$：斯蒂芬-波尔茨曼常数, 5.67×10-8 W/m 2 .K 4

投射吸收能量：

\[ G_{\mathrm{abs}}=\alpha G \]

Gabs：吸收的入射辐射能，W/m²
α：表面吸收率（0≤α≤1）（与投射辐射的特性及表面本身有关）
G: 辐照密度（W/m²）

但是传热量为向外辐射的和吸收的差值，一种简单的情形：
一个表面积为 A₁、表面温度为 T₁、发射率为ε₁的物体被包含在一个很大的表面温度为 $T_2$ 的空腔内，辐射换热量为：（物体是凸的）

\[ \Phi=\varepsilon_1A_1\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right) \]

还可以这样表示：

\[ q_{\mathrm{rad}}=h_r(T_s-T_{\mathrm{Sur}}) \]

其中，$h_r=\varepsilon\sigma(T_s+T_\mathrm{Sur})(T_s^2+T_\mathrm{Sur}^2)$ 为辐射传热系数

传热过程和总传热系数¶

工程中经常遇到热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中的情形，如换热器中热量由热流体传递到冷流体。

传热过程定义及传热方程式¶

上图的热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中
传热方程式：

\[ \Phi=kA(t_{\mathrm{f1}}-t_{\mathrm{f2}}) \]

k——总传热系数
- 表示整个传热过程的强弱
- 与 $h_1,h_2$ 有关

通过平壁传热过程的总传热系数¶

三个环节：

高温流图和其接触的固体的壁面
平壁
低温流体和接触的壁面

\[ \left.\left\{\begin{array}{l}\Phi=Ah_1(t_{f1}-t_{w1})\\\\\Phi=A\lambda\frac{(t_{w1}-t_{w2})}{\delta}\\\\\Phi=Ah_2(t_{w2}-t_{f2})\end{array}\right.\right. \]

稳态时三个环节传递的热量相等
对上面的式子将壁面的两个温度消去：

\[ \Phi=\frac{A(t_{f1}-t_{f2})}{\frac{1}{h_1}+\frac{\delta}{\lambda}+\frac{1}{h_2}} \]

最后与传热的方程式对照，得到传热系数的计算式子：

\[ k=\frac{1}{\frac{1}{h_1}+\frac{\delta}{\lambda}+\frac{1}{h_2}} \]

热阻¶

类似电阻：
- 将温度的差 $\Delta t$ 看做电压
- 将传热的量 $\phi$ 看做电流
- 两者的商就是热阻

\[ \Phi=\frac{\Delta t}{\delta/(\lambda A)} \]

热阻的公式（平壁导热阶段的）：

\[ R_\lambda=\delta/(\lambda A) \]

对流传热的热阻：

我们再来看一下之前的通过平壁传热过程的总传热系数
对流——>壁面导热——>对流，三个传热过程的串联

\[ \boldsymbol{\Phi}=\frac{t_{\mathbf{f}1}-t_{\mathbf{f}2}}{\frac{1}{Ah_1}+\frac{\delta}{A\lambda}+\frac{1}{Ah_2}}=\frac{t_{\mathbf{f}1}-t_{\mathbf{f}2}}{1/Ak} \]

解题流程¶

插入¶

热力学第一定理¶

一个时间段内的热力学第一定律：
- 储存在控制容积内的能量增大的值，必定等于进入控制容积的能量减去离开控制容积的能量
总能（E）=机械能＋内能
- 机械能=动能+势能
- 内能=热能（显能+潜能）+化学能+核能
  - 显能：与温度和压力有关
  - 潜能：与相变有关
传热学：集中注意热能和机械能

对一个瞬间的控制容积¶

控制系统边界：
能量变化：

\[ \dot{E}_{\mathrm{in}}-\dot{E}_{\mathrm{out}}+\dot{E}_{\mathrm{g}}=\frac{dE_{\mathrm{st}}}{dt}=\dot{E}_{\mathrm{st}} \]

笔记

in 和 out 表示通过控制容积表面的热能或者是机械能的变化

这些是由于传热、流体的流动、做功产生的

内部的

$\dot{E}_{\mathrm{g}}$ 体内的热能和机械能的变化率，如能量转换（电磁能、原子能、化学能）引起的系统内的能量变化（也就是体内引起的热能变化）
$\dot{E}_{\mathrm{st}}$：内储存的能量，热能和机械能（最后引起的变化结果）

封闭系统能量守恒¶

M 质量，吸热 Q，对外做功 W¶

引起的总能的变化

\[ Q-W=\Delta E_{\mathrm{st}}^{\mathrm{tot}} \]

若是仅仅考虑内部的热能，在某一瞬间：

\[ q-\dot{W}=\frac{dU_t}{dt} \]

开口系统的能量守恒¶

稳定流动的能量守恒（开口）¶

\[ \dot{m}\left(u_{t}+p\nu+V\frac{2}{2}+gz\right)_{\mathrm{in}}+q\quad-\dot{m}\left(u_{t}+p\nu+V^{2}/2+gz\right)_{\mathrm{out}}-\dot{W}=0 \]

实际上就是热力学中的公式！
热能+流动功+动能+势能（括号里的，有流入的、有流出的）

$u_{t}+p\nu$ 为焓
对于理想气体：$h_{\mathrm{in}}-h_{\mathrm{out}}=c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})$
动能和势能省略时：

\[ \begin{aligned}&\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{in}}-\left(V\frac{2}{2}\right)_{\mathrm{out}}\approx0\\&(gz)_{\mathrm{in}}-(gz)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \]
不可压缩的流体：

\[ \begin{aligned}&u_{\mathrm{in}}-u_{\mathrm{out}}=c(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})\\&(pv)_{\mathrm{in}}-(pv)_{\mathrm{out}}\approx0\end{aligned} \]

表面的能量平衡¶

\[ \dot{E}_{\mathrm{in}}-\dot{E}_{\mathrm{out}}=0 \]

对于控制体的表面，进出的能量差为 0，因为表面是没有质量和体积的

介质表面
没有质量、体积
瞬态、稳态都成立

方法

已知：读题，简写已知条件；
求：简写求解量；
示意图：画出物理系统图。如果要应用守恒定律，在示意图上用虚线画出所需控制面。在示意图上用合适标记的箭头标明相应的各种传热过程；
假定：列出全部适当假定；
特性参数：汇集所需参数，注明来源；
分析：选用合适守恒定律分析，结合能量传输输送方程，进行完整分析推导，计算结果；
说明：
- 对结果进行讨论，思考其合理性；
- 说明关键结论；
- 评论所做的假定；
- 进行 “如果… 将怎样” 的分析；
- 开展灵敏性计算、变参数分析或趋势分析。【计算机应用】

稳态热传导¶

导热的基本定理——傅里叶导热定理¶

傅里叶定理：现象学(试验现象的归纳)
热流密度是一个向量，在二维坐标系中的热流密度与等温表面相垂直
指出热流密度垂直于等温面，沿温度降低方向

矢量表达式¶

笛卡尔圆柱球面

\[ \vec{q}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i}-\lambda\frac{\partial T}{\partial y}\vec{j}-\lambda\frac{\partial T}{\partial z}\vec{k} \]

\[ \vec{q}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial r}\vec{i}-\lambda\frac{\partial T}{r\partial\varphi}\vec{j}-\lambda\frac{\partial T}{\partial z}\vec{k} \]

\[ \vec{q}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial r}\vec{i}-\lambda\frac{\partial T}{r\partial\theta}\vec{j}-\lambda\frac{\partial T}{r\sin\theta\partial\varphi}\vec{k} \]

在角的坐标系中，温度梯度依然基于几何长度上的温度变化，单位任然为摄氏度/m

导热微分方程/热扩散方程¶

基于能量守恒微分控制，能量通过热传导进行
直角坐标系中的
得到的公式：

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{\Phi}=\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} \]

左边三个微分为净进入控制体的热能（进-出）
$\phi$ 为内部产生的热能
右侧为储存热能的变化

当导热系数为常数、一维、无热能产生时的简化

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\right)=\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} \]

\[ \frac{\partial^2T}{\partial x^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} \]

其中的 $\alpha=\frac{\lambda}{\rho c_p}$，为热扩散率（系数）
现在要解这个三元的微分方程（温度在时间和空间上都会变化）

瞬态的传热，是时间的一阶函数，需要初始的温度分布：

\[ T(x,t)_{t=0}=T(x,0) \]
在空间上为二阶，需要两个边界条件：常用的有：

定温表面定热流密度表面对流条件表面

\[ T(0,t)=T_s \]

绝热时，等式右边为 0

\[ -\lambda\frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0}=q_s^{\prime\prime} \]

单位时间内，从物体内部通过导热到达表面的热量，必然等于从表面通过对流传递给流体的热量（或反向）
也就是说表面不会存储热量，左边表面处的热流密度（是内部热交换的热流密度）必须等于其通过对流与外界换的热（实际上就是热量向内/外传递的过程）

\[ -\lambda\frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0}=h[T_{\infty}-T(0,t)] \]

关键点¶

辨析

导热系数热扩散系数/热扩散率

归类于输运物性，表示扩散过程的能量传输的速率
取决于物质原子和分子的物理结构，这种结构与物质的状态有关
衡量材料导热传输热能的能力标尺
各向同性的材料三个方向的 $\lambda$ 是相同的

\[ \lambda_x=-\frac{q_x}{(\partial T/\partial x)} \]

传导热能能力/储存热能能力

导热率：固体>液体>气体
金属一般>非金属，但是也有例外的，比如陶瓷之类的

笔记

输运物性（扩散速率系数）
- 导热系数 / 热导率（对传热）
- 运动粘度（对动量传输）
热力学物性（系统平衡状态）
- 密度 ρ
- 比热容 cp
- 体积比热容 ρcp（乘积，度量材料储存热能的能力）
热扩散系数 α：热导率与体积比热容之比，度量材料传导热能的能力与其储存热能能力的相对大小的一个物性

动力粘度运动黏度

将两块面积为 1 m² 的板浸于液体中，两板距离为 1 米，若加 1 N 的切应力，使两板之间的相对速率为 1 m/s, 则此液体的粘度为 1 Pa. s。

动力粘度与密度的比值，m²/s

通过典型集合形状物体的导热¶

稳态的导热特征：

\[ \partial t/{\partial\tau}=0 \]

（在固定的空间位置上，温度不随着时间变化，达到传热的平衡）
三种问题

平壁的导热，直角坐标系中的一维问题
圆筒壁的导热，圆柱形坐标系中的一维问题
球壳的导热，球坐标系的一维稳态

平壁的导热¶

情形一¶

基本的条件：1 D、稳态、无内热源、λ为常数、两侧均为第一类边界（知道某一边界上的温度）
数学上的描写：

二次的常微分方程，两个边界条件，最后的数学求解为：

\[ t=t_1-\frac{t_1-t_2}{\delta}x \]

这就是平板内的温度随着 x 坐标的变化率

热阻的角度：

情形二¶

问题的语言描述：1 D, 稳态, 无内热源, λ为常数, 一侧为第一类边界，另一侧为第二类（热流密度已知）或第三类边界（换热系数及流体的温度）
数学上的描述：

\[ \left.\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}=0\\x=0,&t=t_1\\x=\delta,&-\lambda\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=q_w&\mathrm{or}&-\lambda\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=h(t_2-t_f)\end{array}\right.\right. \]

情形三¶

描述：1 D, 稳态, 无内热源, 变导热系数, 两侧均为第一类边界

多层平壁的导热¶

由几种不同的材料组成，就是多层平壁
前提：多层平壁，1 D, 稳态，无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界
通过热阻进行计算（两个温度之间所经历的换热的方式）

公式：

\[ q=\frac{t_1-t_4}{\delta_1}\lambda_1+\delta_2\lambda_2+\delta_3\lambda_3 \]

类推：

\[ q=\frac{t_1-t_{n+1}}{\sum_{i=1}^n\frac{\delta_i}{\lambda_i}} \]

通过圆筒壁的导热¶

通过单层圆管的导热多层圆筒壁的导热

前提：1 D（维度）、稳态、无内热源、λ为常数、两侧均为第一类边界条件
数学描述：

\[ \begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}\right)=0\\r=r_1,t=t_1\\r=r_2,t=t_2&\end{cases} \]

得到的通解是：

\[ t=c_1\ell nr+c_2 \]

最后带入边界调节的解（温度随着 r 的变化）为：

\[ t=t_1+\frac{t_2-t_1}{\ln(r_2/r_1)}\ln(r/r_1) \]

热流量为：

\[ \phi=\frac{t_1-t_2}{\frac{1}{2\pi\lambda l}\ln\frac{r_2}{r_1}}=\frac{t_1-t_2}{R_\lambda} \]

所以圆筒壁的热阻为：

\[ \begin{aligned}R_{\lambda}&=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi l\lambda}\\&=\frac{r\ln(r_2/r_1)}{2\pi rl\lambda}\end{aligned} \]

在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。（使用热阻的概念）

\[ \begin{aligned}&\Phi=\frac{t_{1}-t_{2}}{\frac{1}{2\pi\lambda_{1}l}\ell n\frac{r_{2}}{r_{1}}}=\frac{t_{2}-t_{3}}{\frac{1}{2\pi\lambda_{2}l}\ell n\frac{r_{3}}{r_{2}}}=\frac{t_{3}-t_{4}}{\frac{1}{2\pi\lambda_{3}l}\ell n\frac{r_{4}}{r_{3}}}\\&=\frac{t_{1}-t_{4}}{\frac{1}{2\pi\lambda_{1}l}\ell n\frac{r_{2}}{r_{1}}+\frac{1}{2\pi\lambda_{2}l}\ell n\frac{r_{3}}{r_{2}}+\frac{1}{2\pi\lambda_{3}l}\ell n\frac{r_{4}}{r_{3}}}\end{aligned} \]

解题时，直接使用结论中的热阻进行解题

通过球壳的导热¶

稳态的方程：

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}\right)=0 \]

温度分布

\[ t=t_2+\begin{pmatrix}t_1-t_2\end{pmatrix}\frac{1/r_1-1/r}{1/r_1-1/r_2} \]

热流量：

\[ \Phi=\frac{4\pi\lambda(t_1-t_2)}{1/r_1-1/r_2} \]

因为现在讨论的是内部的导热，所以最后内部使用的热流量的计算方程都是导热傅里叶方程

\[ \Phi=-\lambda A\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}\Rightarrow(A=4\pi r^2) \]

变截面的情况/变导热系数¶

\[ \Phi=-\lambda\left(t\right)A\left(x\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \]

肋片的导热¶

定义：肋片是指依附于基础表面上的扩展表面

特点：在沿着肋高度（宽度）上热流量处处变化（稳态导热），认为厚度上温度均匀

简化假设

λ，h均为常数
宽度 l>> $\delta$ ，3D → 2D（二维的）
沿厚度方向上温度均匀
肋片的顶端绝热：$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}|_{x=H}=0$
数学描述：
- 傅里叶定理：内部的导热：
$$ \frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}-\frac{hP}{\lambda A_c}(t-t_\infty)=0 $$ 这是关于温度的二阶非齐次常微分方程需要使用换元求解

通过上下两个表面不断向周围散热
可以看成是一个负的内热源

简化后的物理问题

一维、稳态、无内热源、λ为常数
肋根：第一类边界条件（常数）
肋顶：第二类边界条件（绝热）
最后列出的方程：

\[ \begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}+\frac{\dot{\Phi}}{\lambda}=0\\&x=0,\quad t=t_{0}\\&x=H,\quad{\frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x}}=0\end{aligned} \]

结果：

\[ \frac{\theta}{\theta_0}=\frac{t-t_\infty}{t_0-t_\infty}=\frac{\mathrm{ch}[m(H-x)]}{\mathrm{ch}(mH)} \]

解释

其中的 $\theta=t-t_{\infty}(周围气体的温度)$，$m=\sqrt{\frac{hP}{\lambda A_{c}}}$
$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\quad\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

计算得到的肋顶端的温度带入为：

\[ \theta_H=\frac{\theta_0}{\mathrm{ch}(mH)} \]

说明

上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：$Hc=H + \delta/2$ (新的高度)
上述分析近似认为肋片温度场为一维。当$(\delta/\lambda)/(1/h) <= 0.05$时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的 — 数值计算

热流量：
物体通过肋片散失掉的热量等于肋片根部热传导，也等于肋片表面对流换热（流的概念，是守恒的，从根部流进去的热量，在不改变温度的情况下，必须在之后流出）

肋片根部热传导肋片表面对流换热

\[ \Phi=-\lambda A_c\left.\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}=-\lambda A_c\left.\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}=...=\frac{hP\theta_0}{m}\mathrm{th}\left(mH\right) \]

\[ \Phi=\int_0^HhP\mathrm{d}x(t-t_\infty)=...=\frac{hP\theta_0}{m}\mathrm{th}(mH) \]

肋效率和肋面总效率¶

定义

\[ \eta_f=\frac{\text{实际散热量}}{\text{设肋片处于肋根温度t}_0\text{时的散热量}}=\frac{\Phi}{\Phi_0} \]

对于我们上面讨论的等截面直肋，有

\[ \eta_f=\frac{\mathrm{th}(mH)}{mH} \]

说明

$mH=\sqrt{\frac{2h}{\lambda A_{L}}}H^{3/2}$
可以证明对环肋、三角形肋及其他形状的肋片的肋效率均为$\sqrt{\frac{2h}{\lambda A_{L}}}H^{3/2}$的函数

总效率：

\[ \eta_o=\frac{A_1+\eta_fA_2}{A_1+A_2} \]

也就是一部分的面的温度就是肋底的温度（当有着很多很多的肋时）

肋效能¶

\[ \varepsilon_f=\frac{\text{通过肋片的散热量}}{\text{未加肋片时通过肋根面积 }A_b\text{的散热量}} \]

肋效率和肋效能关系

\[ \varepsilon_{f}=\frac{\Phi_{\mathrm{finned}}}{\Phi_{\mathrm{unfinned}}}=\frac{\eta_{f}hA_{f}\left(t_{o}-t_{f}\right)}{hA_{\mathrm{b}}\left(t_{o}-t_{f}\right)}=\frac{A_{f}}{A_{b}}\eta_{f} \]

稳态导热的其他情形¶

应用背景：
1. 导线的通电发热
2. 化学反应
3. 核反应的元件发热

均匀的内热源的情况¶

数学描述：

\[ \left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}+\dot{\Phi}/\lambda=0\\x=0,t=t_1\\x=\delta,t=t_2\end{array}\right. \]

最后的解：

\[ t=t_1-\frac{t_1-t_2}{\delta}x+\frac{\dot{\Phi}}{2\lambda}x(\delta-x) \]

注意

数学描述中的内热源的项应该是单位体积的内热源
边界条件都是第一类边界条件

IIIBC 的情况（第三类边界条件）¶

数学

\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{d^{4} t}{d \mathbf{x}^{2}}+\frac{\Phi}{\lambda}=0 \\ x=0, \quad \frac{d \tau}{d \mathbf{x}}=0 \\ x=\delta,-\lambda \frac{d t}{d \mathbf{x}}=h\left(t-t_{f}\right) \end{array}\right. \]

解

\[ t=\frac{\dot{\Phi}}{2\lambda}\left(\delta^2-x^2\right)+\frac{\delta\dot{\Phi}}{h}+t_f \]

通过含内热源实心圆柱的导热¶

数学

\[ \begin{cases}&\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{\dot{\Phi}}{\lambda}=0;\\&r=0,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}=0;\\&r=r_{w},t=t_{w}&\end{cases} \]

解

\[ t=t_w+\frac{\dot{\Phi}}{4\lambda}\left(r_w^2-r^2\right) \]

解释

r=0 处的边界条件是通过对称性得出的（是一个极值点）

多维稳态导热问题¶

三种解法

分析解法：解析解
数值解法：数值解（仿真软件之类的）
形状因子法（s，单位是 m），对于两个等温面之间的导热热流量

形状因子法¶

对于一个任意形状的物体，其材料导热系数为常数，无内热源，具有温度均匀、恒定的等温表面t1、t2，若其他表面绝热，其导热量的计算公式都可以表示成下面形式：

\[ Q=S\lambda(t_1-t_2) \]

常见的形状因子