预习

引入¶

电路¶

微分方程

• 电阻：\(i=\frac{u}{t}\)
• 电容：\(i_{c}=c\frac{du_{c}}{dt}\)
• 电感：\(U_{i}=L\frac{di_{i}}{dt}\)
• 理想运算放大器的虚短虚断：

力与运动¶

• 前面的是系数，后面的为速度（两个的相对速度）

• \(T_{粘性摩擦力力矩}=k\omega\)
• 前面是系数，后面是角速度

拉氏变换¶

公式：\(\boxed{L(f^{\prime\prime\prime}(t))=s^{3}F(s)}+s^{2}f(s)+sf'(\omega)+s^2f''(\omega)\)
以此类推，前面是二阶的时候

控制系统¶

开环控制系统和闭环控制系统的区别¶

两种基本的控制方式¶

• 开环控制：

  flowchart LR
  A[输入信号（期望值）] --> B[控制器]
   B --> C[执行器] 
   C --> D[被控对象] 
   D --> E[输出信号（实际值）]

特点：

• 控制器和被控对象之间只有正向的控制作用
• 输入和输出之间，没有反馈回路

• 闭环控制
  • 
  • 通过反馈回路使得系统构成闭环并按偏差性质进行控制作用，减小或者消除偏差的控制系统
  • 控制器中接收到的信号为 \(e(t)\)（偏差信号），为输入信号和反馈信号的差值之类的

自动控制系统的类型¶

• 分类：
  • 是否形成回路（或者叫控制方式）：开环和闭环
  • 系统元件的特性（输入和输出之间元件是否满足线性关系）：线性和非线性
  • 传递信号的形式：连续和离散
  • 按照系统的输出是否随着输入作用的时刻变化而变化分为：时变控制系统和时不变（定常）
    重点在于线性和时变的判断

自动控制系统的术语和定义¶

自动控制系统的基本要求¶

稳定性¶

准确性¶

快速性¶

拉氏变换的定义以及性质¶

定义：

• 时域函数 \(f(t)\) 的拉氏变换 \(F(s)\) 用一下进行定义：\(L[f(t)]=F(s)=\int_0^\infty f(t)\cdot e^{-st}dt\)

• 典型函数的拉氏变换（几种重要的拉氏变换）好像就是随机过程的

上面是必备的知识点

控制系统的数学模型¶

自控中的两种数学模型¶

微分方程模型¶

• 线性联系的控制系统：使用线性微分方程描述：

其中的 \(c(t)\) 为输出量；\(r(t)\) 为系统的输入量

使用传递函数的数学模型¶

定义：线性定常系统的传递函数是指，在零初始条件下（输入和输出信号在零时刻的值为 0），系统输出信号拉氏变换和输入信号拉式变换的比值，\(G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\)。

• 传递函数的一般形式：\(G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n}\)
• 只关心系统的输入和输出

• 几种传递函数

  • 开环传递函数：将输入端对应比较器输出 \(E(s)\) 到反馈信号 \(B(s)\) 之间的所有传递函数的乘积，记为 \(G_k (s)\)，公式为 \(G_K(s)=G(s)H(s)\)
  • 闭环：输出与输入之间的比得到的传递函数：（因为闭环是有返回来的函数的）
  \[ G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]
  • 误差传递函数：误差信号 \(E(s)\) 和输入信号 \(R(s)\) 之间的比为 \(\frac{E(s)}{R(s)}:\)

典型环节的传函函数¶

• 什么叫做典型环节
  不同的物理系统研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节（相当于组成的基本单元）

其中的 \(\omega_n\) 为常数

信号流图的绘制¶

• 把握方框图和信号流图的关系
  方框图中信号之间的关系是使用方框图来表示的，信号流图是使用在箭头的上面写函数关系表示
• 表示：
  • 将从左到右输入到输出的主干道上用箭头表示的信号使用圆圈 (节点) 表示
  • 信号之间的关系改为使用箭头表示（支路）（直接移动过去的话是 1）
  • 补画从右往左的回路
• 实际上，节点的数量不是那么重要，一般以运算节点分割即可

求解系统的传递函数——梅森增益公式¶

求解系统的传递函数-进阶版¶

其他的题目¶

上述题目的图像为

重点在于确定余因子
还有可能求误差传递函数

困难版的梅森增益公式¶

题目如下：

1. 所有的回路，使用增益来表示（乘积）（从后往前找反馈点）
   1. 找出两两互不接触的回路，带入计算公式
2. 找出前向通路（也是不能重合的），必须确定前向通路的起始点
   1. 表示这些前向通路，计算确定其余因子
   2. 一一对应
3. 带入梅森公式进行计算

输出不受某一信号的干扰，让这个传递函数为 0，即分子为 0

求解系统的传递函数-结构图等效化简¶

这个是求解传递函数的另一种方法，虽然没有上面的梅森公式常用

预备知识¶

1. 串联：相当于电路系统中的串联（传递函数为两个的乘积）（\(G(s)=G_1(s)G_2(s)\)）
2. 并联：相当于电路的并联（传递函数为两个函数的和或差）（\(G(s)=G_1(s)-G_2(s)\)）
3. 反馈：相当于回去，也就是闭环控制系统的组成成分（\(G(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)）

实现如下的简化

做题的步骤：
1. 合并框图中可以合并简化的部分（优先使用梅森增益公式，简单） 1. 分部分，拆一下，并联的想加减，串联的相乘 2. 注意区分并联和反馈（看箭头的方向） 2. 由小到大，带入公式，进行简化

上述的进阶结构图¶

预备的知识¶

1. 取出点前移：
2. 取出点后移
3. 汇合点前移
4. 汇合点后移
   

电路系统的建模¶

建立电路系统的传递函数\(\frac{U_0(s)}{U_i(s)}\)
图像如图所示：

本质上还是求出传递函数，使用的方法复阻抗法

其中的 s 为复数域上的，为 \(j\omega\)
同时结合一下复阻抗的概念
所以，最后由复阻抗法就可以得出

线性系统的时域分析¶

基本概念和典型测试信号¶

时域分析：
典型的测试信号下，系统的时域响应的动态性能和稳态性能分析
典型测试信号：

动态过程和稳态过程
系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成

• 动态过程：输入之后，还在波动的过程（又称为过渡过程、瞬态过程）
• 稳态过程：经过一段时间之后，基本上稳定的过程，输出量的表现形式，又称为稳态响应

动态性能的指标¶

峰值时间 \(t_p\)：响应超过其终值达到第一个峰值所需要的时间
调节时间 \(t_s\)：响应到达并保持在终值 \(+-5（或者是2）\%\) 的所需的时间，之后的基本上就是稳态了
超调量 \(\sigma \%\)：相应的最大偏移量和终值之差的百分比 (公式如下)

稳态性能指标¶

稳态误差：稳定之后的误差

时域响应的求解¶

时域响应的求解：求解某个输入时的，系统的输出的响应（没有初始条件下的做法）

还有一种解题的方法：将传递函数转换为微分方程的形式（适用于有初始条件下的做法）

劳斯判据（稳定性分析）¶

定义：
线性系统稳定的充要条件就是：闭环传递函数的极点（特征方程）都在 s 平面的左半部分
判稳的方法：
1. 求根（很困难） 2. 劳斯判据

劳斯判据¶

1. 描述：若线性系统的特征方程为（特征方程是闭环传递函数的分母或者是开环传递函数的分子加分母）

则系统的稳定充分必要条件为方程的系数为正数且对应的劳斯表的第一列元素均为正数
若任一系数为 0 (缺项)或负数，则不稳定

之后根据劳斯表的第一列进行分析（有变号，不稳定，在 s 右半平面/正实部）
变号两次，代表有着两个正实部的根 （有两个根在右半 s 平面）
特征方程为几次就有几个根

劳斯判据的特殊情况¶

特殊情况一： 某一行的第一列的项为 0，而其余的各项不为 0 或者是不全为 0
此时使用很小的正数来代替 0，例如 \(\epsilon\) ，这是一个很小的正数，根据这个系数计算其他的劳斯表中的系数，判断其正负

特殊情况二：出现全为 0 的行时，使用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，所得的方程的系数代替全 0 行，再次使用劳斯判据（特殊的点在于，辅助方程的根就是特征方程根的一部分）

劳斯判据的进阶¶

分析系统参数对系统稳定性的影响¶

1. 由框图得出传递函数
   1. 闭环传递函数的分母（使用之前的方法求出）
   2. 开环传递函数的分子加分母（这个可能更简单一点）
2. 列出劳斯判据的公式，判断稳定的条件下，K 的取值

确定系统的稳定余量¶

例：为了使系统的特征方程的实部不大于-1，确定 K 的取值范围

新的稳定边界是 s=-1，则取 s=z-1，边界就变成了 z=0，符合标准的劳斯判据，将 z 带入原来的特征方程公式
同样带入劳斯判据的公式

一阶系统的动态性能分析¶

对应稳准快中的快
一阶系统：传递函数分母的最高次为一次的
由一阶系统的单位阶跃，得到对应的单位阶跃响应的函数为 \(h(t)=1-e^{-\frac{1}{T}t}(t\geq0)\)

二阶系统的相关定义¶

• 结构：
  
• 传递函数的形式

上述的传递函数就是二阶系统的标准形式
其中的：\(\omega_n\) 为自然频率（无阻尼自然震荡频率）；\(\zeta\) 为阻尼比

二阶欠阻尼系统的动态性能分析¶

• 欠阻尼二阶系统：（\(0<\zeta<1\)）
  • 系统有一对共轭复根：\(s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\sigma\pm j\omega_d\)
  • 单位阶跃响应为：\(h(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}\sin(\omega_{d}t+\hat{\beta})\)（t>=0）
  • 其中 \(\beta=arccos\zeta,\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)
• 所以其动态的性能指标为
  • 峰值时间：

1

- 超调量：

1

- 调节时间：

考试的时候一定要记住这三个公式

其单位阶跃响应的图像类似这种

单位阶跃响应指标=动态性能指标，就是上述的这三个物理量

稳态误差的求解方法 -一般方法¶

衡量准不准的重要指标
误差的概念：

• 是系统的控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能
  误差的定义：

• 从输入端定义：系统的误差被定义为给定输入信号与反馈信号之差
  

上述系统的误差传递函数为：

但是要求的稳态误差是稳定之后的误差，所以需要终值定理，来计算时间为无穷时的误差

其中的 \(E(s)\) 使用上述的方法进行求解

静态误差系数法（求稳态误差的方法）¶

静态误差系数法
- 静态位置误差系数：\(r(t)=1\quad K_{p}=\lim_{s\to0}G(s)H(s)\quad e_{ss}=\frac{1}{1+K_{p}}\) - 静态速度误差系数： \(r(t)=t\quad K_{v}=\lim_{s\to0}sG(s)H(s)\quad e_{ss}=\frac{1}{K_{v}}\) - 静态加速度误差系数： \(r(t)=\frac{1}{2}t^{2}\quad K_{a}=\operatorname*{lim}_{s\to0}s^{2}G(s)H(s)\quad e_{ss}=\frac{1}{K_{a}}\)
所以做题的套路是

1. 看输入
2. 求系数（对应三种误差参数）
3. 套公式计算

当输入为组合函数时
例如\(r(t)=R_01(t)+R_1t+\frac{1}{2}R_2t^2\)
则根据线性叠加定理：（就是把每一块的加在一起，前面的常数系数是没有关系的）

则分别将传递函数带入即可（带入三种的公式，相加）
所以输入一般使用这种方法求，扰动用前面的方法求

线性系统的根轨迹分析法¶

建模的目的是分析：
我们之前使用的分析方法是时域分析法
我们现在要学习根轨迹分析法

基本概念及两个基本条件¶

概念：
根轨迹的定义：开环传递函数中某个参数（往往是根轨迹增益 \(K^*\)）由零变化到无穷时，闭环特征根在 s 平面上的移动的轨迹

• 增益的分类
  • 开环增益：开环传递函数的尾一标准型\(G(s)=\frac{4(s-1)}{s(s+2)(s+1)}=\frac{4(s-1)}{s\cdot2\cdot(\frac{s}{2}+1)(s+1)}=\frac{2(s-1)}{s(\frac{s}{2}+1)(s+1)}\)
  • 闭环增益：闭环传递函数的尾一标准型\(G(s)=\frac{4s-4}{s^{3}+3s^{2}+2s}=\frac{4(s-1)}{s(s^{2}+3s+2)}=\frac{4(s-1)}{s(s+2)(s+1)}\)
  • 根轨迹增益：开环传递函数的首一标准型
    实际上就是分子分母的常系数为 0 的

所以根轨迹是什么样子的东西
要求的是系统的闭环根轨迹（闭环的特征方程的根的轨迹）

两个基本条件¶

相角条件和幅值条件是两个基本的条件
例如，简单的闭环反馈系统的闭环特征方程为

所以特征根的求解为

因为开环的传函为复数，所以有着模和方向两种的表达方式

• 幅值条件

• 幅角条件（下面那个式子实际上就是奇数次）：

实际上就是复数的向量的表达形式（根必须满足上述的两个条件）（幅角条件是最重要的，要进行优先验证）

开环极点就是开环传函的分母的零点

做题例子：判断根是否在根轨迹上
开环传递函数为：

1. 首先将所要求的 s 的值带入开环传递函数，看是否符合角的条件（记住角的计算公式，相乘为角度相加）
2. 之后符合的话，进行取模, 等于 1，计算 \(K^*\) 的值（乘积的模为模的乘积）
   上面的分子就是增益（根轨迹增益和开环增益是不同的）
   

常规根轨迹的绘制¶

基础版¶

绘制是一定要考的

常规根轨迹：
定义：在负反馈下，以增益作为可变参数绘制的根轨迹（是根据开环增益的变化来绘制闭环的根轨迹）

所以最后绘制的根轨迹如下：

其中与虚轴交点的计算方式为：将 \(s=j\omega\) 带入系统的闭环特征方程，令方程的实部和虚部为零，求出对应的 \(K^*和\omega\) (上面的 \(\omega\) 就是与虚轴的交点)

广义根轨迹的绘制 -参数根轨迹¶

广义根轨迹的定义：除常规根轨迹外的

参量根轨迹：
以非根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为参量根轨迹，以区别以根轨迹增益 \(K^*\) 为可变参数的常规根轨迹

例如，开环传递函数为 \(G(s)H(s)=\frac{5(1+T_as)}{s(5s+1)}\)，以 \(T_{\alpha}\) 为变量绘制
关键在于构建等效的开环传递函数

开环的传递函数要看大的循环
上面的步骤实际上就是将所要求的参数到增益的位置
还要计算一下出射角（实际上就是之前的两个条件中的相角）

零度根轨迹绘制（第二种）¶

定义
在正反馈下的，以开环增益（根轨迹增益）作为可变参数，所绘制的根轨迹为零度根轨迹。
所以区别于之前的主要是反馈的极性发生了变化

所以实际上就是将所有为奇数的变为偶数
其余的计算保持不变

根轨迹分析系统性能¶

绘制根轨迹是为了分析系统性能，根和系统性能有什么关系呢
关系：

• 根位于 s 的左半平面，则系统是稳定的
• 有 s 右半平面的根系统是不稳定的
• 根位于虚轴上系统是临界稳定的

根与系统阶跃响应形式之间的关系

• 根是左面的复数根，则阶跃响应形式为衰减震荡
• 为负实数根，则为单调上升
• 为纯虚数根，则为等副震荡

有震荡就要超调量
所以，有超调等价于有复数根
无超调等价于都是负数根
等副震荡等价于有纯虚数根

与虚轴的交点求出的 \(\omega\) 和 \(a\) 都是非常重要的，是一个临界点。
所以将图像画出来之后，就可以通过图像判断什么参数的条件下是稳定的（相当于代替了劳斯判据了）
箭头的方向是参数从 0 变化到无穷大的方向
除此之外，还可以判断是否超调（就是将三个根全为负数时的参数的取值范围求出）

线性系统的频域分析法¶

我们现在学了两个主要的方面：建模+分析
分析的方法有三种

1. 时域分析
2. 根轨迹分析
3. 频域分析方法

频率特性的定义及应用¶

定义：线性定常系统在正弦输入的情况下，稳态输出和输入的幅值比和相角差，称为系统的频率特性（一个复数）
因为我们发现在输入正弦信号时，没有发生频率的变化，但是会发生幅值和相角的变化

例如开始的输入为 \(Asin\omega t\) 之后的输出为 \(Bsin(\omega t+\phi)\) 这就是变化

组成部分：

• 幅频特性 A (\(\omega\))，频率特性的复数对应的幅值，表示稳态输入和输出之间的幅值比随着频率 \(\omega\) 的变化关系
• 相频特性 \(\phi(\omega)\)：复数对应的相角，表示输入输出之间相角差随着 \(\omega\) 的变化关系

得到的方法：将 \(s=j\omega\) 带入系统的传递函数中得到的就是对应的频率特性

频率特性是整个频域分析的基础!！

主要是因为此时的输入为三角函数的输入

频率特性的图示方法-奈奎特斯曲线及其绘制方法¶

幅相频率特性曲线（极坐标图）——奈奎特斯图
对于确定的频率，必定有一个幅值特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值和相角在复平面上代表一个向量
是因为将 s= \(j\omega\) 带入开环的传递函数中，可以求出对应的幅值和相角，这个在复平面上代表一个点，将所有这些点相连得到的就是曲线（其中的 \(\omega\) 频率的取值范围为 0-无穷）

开环传递函数的分母上有 s 的几次方就是几形

图示方法-特殊的奈奎斯特曲线的绘制¶

奈奎斯特稳定性判据的应用¶

画出来上面的曲线有什么用呢？——分析系统的一些性能

奈奎斯特稳定性判据是常用的频域稳定判据，特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性

先写出公式 \(Z=P-2N=P-2(N_{+}-N_{-})\)
有几个定义：

1. 开环不稳定系统：系统的开环传递函数有一个或多个极点在 s 平面的右半部
2. 最小相位系统：系统的开环传递函数全部的极点位于 s 平面的左半平面，没有零点落在 s 的右半平面
3. 非最小相位系统：系统的开环传递函数全部的极点位于 s 平面的左半平面，至少有一个零点落在 s 的右半平面

如上面的图，开始的时候那个点，算半次

频率特性的图示方法——伯恩图的绘制¶

全称为对数频率特性曲线：

• 在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成
  半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度（横坐标为对数的一种）

对数幅频特性：
指 \(G(j\omega)\) 的对数值 \(20lg|G(j\omega)|\) 和频率的关系
即纵坐标为：

其中的 \(L(\omega)\) 称为对数幅值，单位是 dB（分贝）
横坐标为 \(\omega\)

一般的传递函数都是由这几个乘起来的，所以需要分成好几块进行
所以对于下面的开环传递函数，画出来的图像是：

从伯德图到系统的传递函数¶

现在给了传递函数，是可以求出图了，但是反过来怎么求呢

例：

什么是低频段：第一个转折的频率之前为低

稳定裕度的求解¶

• 稳定裕度：
  • 相角裕度：
    设系统的截止频率为 \(\omega_{c}\)：\(A(\omega_c)=|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\)
    定义相角裕度为 \(\gamma=180^\circ+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c)\)
    相角裕度的含义为：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 \(\gamma\) 度，则系统处于临界稳定状态
  • 幅值裕度：
    设系统的穿越频率为 \(\varphi(\omega_x)=\angle G(j\omega_x)H(j\omega_x)=-\pi\)
    定义幅值裕度 \(h=\frac{1}{|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|}\)
    含义是对于闭环的稳定系统，如果系统的开环幅频特性再增大 h 倍，则系统处于临界稳定状态

做题的方式：

三频段理论分析系统性能¶

是基于伯恩图来划分的：
- 低频段：在第一个转折点之前的——决定系统的稳态性能 \(\frac{k}{s^v}\)，主要是因为稳态误差也是和 k 和 v 有关 - 中频段：\(\omega_c\) 的附近的频段——决定系统的动态性能- \(\omega_c和\gamma\)
\(\gamma\) 越大，系统的超调量越小。\(\gamma\) 一定时，\(\omega_c\) 越大，调节时间越小，动态性能越好 - 高频段：之后的就是了——决定系统的抗高频干扰能力