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汽车二自由度模型的建立¶

参数的说明

车辆自身运动的相关参数
- m：汽车的质量。
- \(I_z\)：汽车绕垂直于地面的 z 轴（横摆轴）的转动惯量。
- u：汽车的纵向速度（通常视为恒定，作为已知量）。
- \(\dot{v}\)：汽车的侧向加速度（侧向速度 v 对时间的一阶导数），反映侧向运动的动态变化。
- \(\dot{\omega}_r\)：汽车的横摆角加速度（横摆角速度 \(\omega_r\) 对时间的一阶导数），反映横摆运动的动态变化。
- \(\beta\)：质心侧偏角，即汽车质心速度方向与汽车纵轴方向的夹角，是描述汽车侧向运动姿态的重要参数。
- \(\omega_r\)：横摆角速度，即汽车绕 z 轴的转动角速度，描述汽车横摆运动的快慢。
- \(\delta\)：前轮转角，是驾驶员输入的控制量，用于改变汽车的行驶方向。
轮胎及悬架的相关刚度参数
- \(k_1\)：前轮的侧偏刚度，反映前轮受到侧向力时产生侧偏的难易程度，侧偏刚度越大，相同侧向力下前轮侧偏角越小。
- \(k_2\)：后轮的侧偏刚度，含义与前轮侧偏刚度 \(k_1\) 类似，针对后轮。
- a：汽车质心到前轴的距离。
- b：汽车质心到后轴的距离。

目标

并计算 ux=15 m/s 车速下，time=0.5 s 开始前轮角阶跃 6°，车辆横摆角速度、质心侧偏角的瞬态响应

建立

首先是常数的设立（两个刚度和 a, b 两个距离，还有转动惯量）
- 现在已知的纵向的速度：u=15 m/s
- 前轮角阶跃输入为 \(\delta\) 转为弧度制（\(\frac{\pi}{30}\)）
求解的是
- 横摆角速度 \(\omega_r\) 随时间 t 的变化（瞬态响应曲线）；
- 质心侧偏角 \(\beta\) 随时间 t 的变化（瞬态响应曲线）。
侧向速度可以使用质心侧偏角和纵向速度表示
转换之后的公式：

\[ u\dot{\beta}=\frac{k_1+k_2}{m}\beta+\left(\frac{ak_1-bk_2}{mu}-u\right)\omega_r-\frac{k_1}{m}\delta \]

\[ \dot{\omega}_r=\frac{ak_1-bk_2}{I_z}\beta+\frac{a^2k_1+b^2k_2}{uI_z}\omega_r-\frac{ak_1}{I_z}\delta \]

最终的图：
相应的曲线：

分析

假设输入是 “\(t=0.5\ \text{s}\) 开始，前轮阶跃 \(6^\circ\)”，且车辆为不足转向特性（多数乘用车的设计目标），理论上：
- 横摆角速度 \(\omega_r\)：应呈现 “快速上升→超调→收敛到稳态” 的过程（不足转向车辆的横摆响应是稳定的，最终会收敛到与前轮转角匹配的稳态值）。
- 质心侧偏角 \(\beta\)：不足转向车辆的质心侧偏角最终应趋近于 0（或极小值），因为不足转向特性下，车辆转向时质心侧偏角的 “稳态误差” 很小。
横摆角速度（蓝色线 \(w\_r）\)：快速上升后收敛到稳态（约 \(0.38\ \text{rad/s}\) 左右），符合 “不足转向车辆横摆响应稳定、收敛” 的特性。
质心侧偏角（黄色线 \(\beta\)）：短暂波动后迅速趋近于 0，也符合 “不足转向车辆质心侧偏角稳态趋近于 0” 的理论。

四个计算¶

稳定性因数 \(K\) 和特征车速 \(u_{ch}\)：

\[ K=\frac{m}{L^2}\left(\frac{a}{k_2}-\frac{b}{k_1}\right) \]

\[ u_{ch}=\sqrt{\frac{1}{K}} \]

稳态横摆角速度增益曲线 \(\frac{\omega_r}{\delta}|_s - u_a\) 和转向灵敏度 \(\frac{\omega_r}{\delta_{sw}}\)：

\[ \left(\frac{\omega_r}{\delta}\right)_s=\frac{u}{L+Ku^2} \]

\[ \frac{\omega_{r}}{\delta_{sw}}=\frac{\omega_{r}}{i\delta} \]

静态储备系数 \(S.M.\)，侧偏角差值与转弯半径比值：

\[ S.M.=\frac{a-\frac{k_2}{k_1+k_2}L}{L} \]

之前的轮胎模型¶

纵向¶

侧向¶

力矩¶

技术调研报告的写法¶

首先是前人的总结：佐思汽研、高工智能汽车（GGAI）、盖世汽车研究院、艾瑞咨询、IHS Markit（现属 S&P Global）（这些专业的咨询报告）
但是这个我已经看过佐思汽研的了，没有详细的，需要付费购买
各大券商（如中信建投、中金公司、华泰证券、天风证券）的汽车或汽车电子行业研究团队。
1. 使用 慧博投研资讯、Wind、Choice 金融终端 或同花顺/东财的 PC 端“研报中心”。搜索关键词组合，如：“数字底盘深度报告”、“线控底盘行业前瞻”、“底盘域控制器国产化”。
2. 就是我现在使用的同花顺
同花顺中：
1. 在同花顺 PC 端，找到“产业链”或“主题投资”模块。搜索“线控底盘”、“智能汽车”、“汽车电子”等，系统会自动生成产业链图谱，列出上游（芯片、传感器）、中游（执行器、域控制器）、下游（整车厂）的相关上市公司。这是将技术概念转化为股票池的最佳工具。
2. 直接搜索“华为汽车”、“比亚迪概念”、“蔚来概念”等，成分股中很多就是数字底盘的供应商。
3. 公告：搜索您已锁定的公司（如伯特利、拓普），查看其“非公开发行股票预案”、“投资者关系活动记录表”、“年报/半年报”，里面会详细披露技术研发进展、项目定点情况、客户合作等信息。
4. 互动易/上证 e 互动：这是宝藏！您可以主动提问，也可以查看其他投资者的提问。例如，搜索“线控制动”、“底盘域控”，能看到上市公司董秘的官方回复，了解最新业务进展和订单情况。
垂直行业的媒体：
汽车之心、42 号车库、汽车之家·行业频道、盖世汽车每日速递：关注整车厂的新技术发布（如小米 SU 7、问界 M 9 的底盘解析）。
- 电子工程世界、半导体行业观察：从芯片、传感器、软件角度解读底盘技术。
- 佐思汽车网、高工智能汽车：大量免费行业快讯和技术文章。
  盖世汽车：https://auto.gasgoo.com/news/202511/20I70437368C106.shtml
  汽车之家·行业频道
  中国汽车报网：http://www.cnautonews.com/lingbujian/2025/07/25/detail_20250725379135.html
  汽车之家研究院：https://www.autohome.com.cn/news/202411/1301897.html

现在主要是把这个报告找一下

在同花顺的咨询中可以直接进行搜索
搜索出公司之后，深度资料——>新闻公告与媒体——>公司公告，之后搜索年报之类的关键词
1. 《年度报告》（尤其是最新的 2023 年报）：这是法律文件，信息最全。
2. 《募集说明书》或《向特定对象发行股票预案》：这是公司融资时写的“商业计划书”，会用大量篇幅论证行业前景和自身技术优势，数据极其详尽。
  之后打开 pdf 进行搜索！
  只是非常好的一个方式

第三步：查看“互动平台”的一手问答（另一个宝藏）

在上交所官网或同花顺 F 10 里，找到 “上证 e 互动” 入口。
在搜索框输入 “伯特利”，然后搜索关键词如 “线控”、“EMB”、“底盘”、“研发”。
您会看到大量投资者和公司的问答，董秘的回答会透露最新订单、技术验证进展等鲜活信息。

悬架的仿真¶

默认的初始条件：

分别代表的是：
前后力矩臂
车身质量
车身绕着 y 轴俯仰的转动惯量
前后悬架的弹簧刚度
前后悬架的阻尼器阻尼系数

得到的结果：

上述的输出为：

车身俯仰角的变化率
车身质心的垂向速度
前轮悬架的反作用力
路面不平度的输入 (激励信号)
车辆加减速的俯仰力矩 \(M_y\)
单质量系统的自由振动的分析：

\[ m_2\ddot{z}+C\left(\dot{z}-\dot{q}\right)+K\left(z-q\right)=0 \]

得到的传递函数为：

\[ H(\mathrm{j}\omega)_{z\sim q}=\frac{z}{q}=\frac{K+\mathrm{j}C\omega}{\left(-m_2\omega^2+K\right)+\mathrm{j}C\omega} \]

此传递函数的阻尼比为：

\[ \zeta=C/\left(2\sqrt{Km_2}\right) \]

角频率为：

\[ \omega_0=\sqrt{K/m_2} \]

阶跃的路面输入下的车身位移的表达式：

\[ z(t)=z_0+q_0\left[1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\left(\omega_dt+\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\right)\right] \]

使用 to-workspace 的功能进行多个图像画到一个图像上

这是对前轮的阻尼系数进行修改之后的结果

对刚度修改之后的结果

质量的影响：

实验数据的分析¶

总的分析：¶

上图为总的三维轨迹图

上图为总的加速度曲线

加速度特性的分析¶

第一个片段¶

这是从 422 s 到 448 s 左右的一段急加速、急减速的 y 轴方向的曲线（汽车行驶的方向）

这是相同的时间内的加速度与车辆的速度随时间的变化曲线

在这段时间内 1. 最大的正向加速度为 \(4.45m/s^2\)
1. 加速阶段的最大速度为 \(15.21m/s\) 2. 加速到最大速度的时间近似为 \(5s\)，则这一小段的平均加速度为 \(3.04m/s^2\) 3. 加速的距离为 \(50.98m\) 2. 最大的减速度为 \(-5.59m/s^2\) 1. 减速阶段的速度变化量同样是 \(15.21m/s\) 2. 所用的时间近似为 4 s，则急减速的平均减速度为：\(3.80m/s^2\) 3. 减速的距离为：\(12.72m\)

由这个片段对动力性，制动性进行评价，有：

动力性：最大的正向加速度为 \(4.45m/s^2\)，在普通家用车中处于较好的水平，接近性能车的门槛
- 小于 \(5 s\) 的时间加速到了 \(54.8km/h\)，加速性能较好
- 1. 平均加速度 \(3.04m/s²\)，高于普通家用车 “\(0-100km/h\)” 的平均加速度（\(2.0~2.8m/s²\)），这段加速的提速效率不错；
制动性：
- 最大减速度 \(5.59m/s²\)，略低于国标合格线（\(5.8m/s²\)），说明制动的 “峰值制动力” 稍弱；
- 减速距离 \(12.72m\)（以 \(54.8km/h\) 减速到停），处于 “\(50km/h\) 制动到停\(≤20m\)” 的合格范围内，制动距离表现正常；

第二个片段¶

这是第二个片段的加速度曲线（1190 s~1230 s）

这是第二个片段的速度与加速度随着时间变化的曲线

在这一个片段中，加减速交替了 3 次

加速阶段：
- 三次加速阶段中的最大加速度为 \(4.37m/s^2\)
- 第一次加速阶段的最大加速度为 \(4.05m/s^2\)，速度变化为 \(1.88-11.92(m/s)\)，用时 \(4s\)，则这一小段的平均加速度为 \(2.51m/s^2\)，加速的距离为 \(39.044m\)
- 第二次加速阶段的最大加速度为 \(4.19m/s^2\)，速度变化为 \(4.84-10.83(m/s)\)，用时 \(2s\)，则这一小段的平均加速度为 \(3m/s^2\)，加速的距离为 \(12.4m\)
- 最后一次加速的最大加速度为 \(4.37m/s^2\)，速度变化为 \(4.86-12.19(m/s)\)，用时 \(3s\)，则这一小段的平均加速度为 \(2.44m/s^2\) 加速的距离为 \(22.931m\)
减速阶段：
- 三次减速阶段中的最大加速度为 \(-2.39m/s^2\)
- 第一次减速阶段的最大加速度为 \(-2.31m/s^2\)，速度变化为 \(11.92-4.84(m/s)\)，用时 \(4s\)，则这一小段的平均加速度为 \(-1.77m/s^2\)，减速的距离为 \(25.01m\)
- 第二次减速阶段的最大加速度为 \(-1.88m/s^2\)，速度变化为 \(10.83-4.85(m/s)\)，用时 \(4s\)，则这一小段的平均加速度为 \(-1.5m/s^2\)，减速的距离为 \(24.687m\)
- 最后一次减速的最大加速度为 \(-2.39m/s^2\)，速度变化为 \(12.19-4.43(m/s)\)，用时 \(4s\)，则这一小段的平均加速度为 \(-1.94m/s^2\)，减速的距离为 \(27.063m\)

对上面的这一段的动力性和制动性进行分析，有：

动力性：
- 三次加速的最大加速度 \(4.05-4.37 m/s²\) 处于家用车最大加速度的中高区间，接近新能车的门槛
- 平均加速度两次处于家用车标准区间，第二次（\(3.0 m/s²\)）略高，说明短时间提速的爆发力不错（2s 内完成 \(5.99m/s\) 的速度提升）；
制动性（但是这里的减速并没有减速到停下，而是较为平缓的减速）
- 制动性符合日常驾驶中的平缓操作

第三段的分析¶

上面是第三段的加速度曲线，是频繁的加减速的阶段

上面是这个阶段的速度、加速度随时间变化的曲线

这个阶段的特征：

最大的加速度为 \(2.83m/s^2\)
最大的减速度为 \(-0.88m/s^2\)
最大速度为 \(10.23m/s\)，最小速度为 \(1.79m/s\)

分析：这段频繁的加减速的曲线，体现的是中低速、拥堵/负责路况下的动力响应性和制动的线性度

动力响应性不错：
每次加速度（蓝色曲线）上升时，速度（橙色曲线）能快速跟随上升（速度曲线的斜率与加速度正相关），说明动力系统对 “小幅度油门变化” 的响应比较及时，没有明显的动力迟滞（不会出现 “踩油门后 1~2 秒才提速” 的情况），符合日常拥堵路况的驾驶需求。
动力输出平顺性好：
加速度曲线（蓝色）没有出现 “突然跳升 / 骤降” 的波动，而是相对平缓的变化；对应的速度曲线（橙色）也是连续、无顿挫的升降，说明动力输出比较线性（比如变速箱换挡平顺、油门踏板响应线性），频繁加减速时不会有 “窜车” 或 “动力中断” 的不适感。
制动 / 收油的线性度良好：
减速时加速度（蓝色曲线的负值部分）变化平缓，没有出现 “突然变负（急刹）” 的情况；对应的速度曲线（橙色）也是匀速下降，说明无论是 “松油门滑行” 还是 “轻踩刹车”，制动系统 / 动力回收的控制都比较线性，频繁减速时不会有顿挫感，日常驾驶的舒适性不错。
制动系统的轻负荷状态下的状态稳定：
多次重复轻减速过程中，加速度和速度的变化规律一致，说明制动系统在轻负荷下的状态稳定（比如刹车片与刹车盘的贴合度、制动液压力控制都比较均匀），没有出现 “时灵时不灵” 的波动。

总的来说，这辆车在日常驾驶的操控体验和舒适性还是不错的

平顺性分析¶

以上就是两者的关系图像
由上面的曲线，分析其中的三个高度变化较大的区域：

第一段的分析¶

\(500-550s\)（一段比较颠簸的路段）

该段的最大高度落差为 \(1.85m\)
最大的垂向加速度为 \(10.27m/s^2\)（含 \(g\)）
最小的垂向加速度为 \(8.82m/s^2\)

对这一段的加权加速度均方根值（先对加速度进行傅里叶变换到频域上，乘以频率加权函数之后反变换到时域上，对得到的加速度求出均方根值）进行计算，得到的结果为：

\[ a_\mathrm{w}=\left[\frac{1}{T}\int_0^Ta_\mathrm{w}^2(t)\mathrm{d}t\right]^{\frac{1}{2}} \]

Python
x轴：0.170 m/s²
y轴：0.131 m/s²
z轴：0.109 m/s²

三方向总加权加速度均方根：0.320 m/s²
总加权振级：110.1 dB

得到的实际采样频率为 \(400.6 hz\)
可以得出，这一段的加权加速度均方根值为 \(a_w=0.320m/s^2\)，加权振级为 \(L_{aw}=110/dB\)
查表，得出这一段的人的主观感觉应该是有一些不舒适

此处为无明显坡道的路段，振动的加速度较低，平顺性较为良好

第二段的分析¶

\(1300-1350s\)

如图所示，可见，这是一段上坡的路段

该段的最大高度上升为 \(8.05m\)
最大的垂向加速度为 \(10.76m/s^2\)（含 \(g\)）
最小的垂向加速度为 \(8.87m/s^2\)

同理，对这一段的加权加速度均方根值进行计算，得到：
这一段的加权加速度均方根值为 \(a_w=0.408m/s^2\)，加权振级为 \(L_{aw}=112.2/dB\)
查表，得出这一段的人的主观感觉应该是有一些不舒适

这一段为典型的上坡路段，有明显的颠簸，乘坐的舒适性较差

第三段的分析¶

\(1470-1510s\)：是一段颠簸下坡的路段

该段的最大高度落差为 \(5.82m\)
最大的垂向加速度为 \(10.43m/s^2\)（含 \(g\)）
最小的垂向加速度为 \(9.03m/s^2\)

同理，对这一段的加权加速度均方根值进行计算，得到：
这一段的加权加速度均方根值为 \(a_w=0.412m/s^2\)，加权振级为 \(L_{aw}=112.3/dB\)
查表，得出这一段的人的主观感觉应该是有一些不舒适

颠簸下坡的路段，平顺性同样较差

操纵稳定性¶

上图为：

上图是侧向加速度与车辆行驶方向朝向的关系

上图是对航向关于时间微分之后，得到的横摆角速度的曲线

\[ \mathbf{corr}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_x\sigma_y} \]

上图是横摆角速度与侧向加速度随着时间的变化曲线图
计算得到的两者的相关系数为：\(0.5108\)，为中等的正相关度
由上述的相关度和曲线可以认为这辆车的操纵稳定性属于普通家用车的日常水平
但是由于缺少其他的数据，不能分析操纵稳定性这一比较综合的指标